Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 374 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

374
Глава 14. Инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений
осесимметричной задачи математической теории пластичности
Подставляя (14.3.26) в уравнение (14.3.24), получим:
h =
1
2
ln
υ
1
υ
2
±
1
2
√
−2λ + C
2
− 4λ
2
λ
√
−2λ + C
2
dλ + C
3
. (14.3.27)
Вычисляя интеграл в (14.3.27) и обозначая через
z =
1
k
−
2(k − 1)
2
k
2
υ
1
υ
2
=
k − 1
k
#
−2υ
1
υ
2
+
k
(k − 1)
2
, (14.3.28)
находим инвариантно-групповые решения вида
h =
1
2
ln
υ
1
υ
2
± i
kF(z,k)+
1
k − 1
E(z,k) −(k −1)Π(z,k,k)
+ C
3
,
f =
#
−2υ
1
υ
2
+
k
(k − 1)
2
,
(14.3.29)
где C
3
произвольная, вообще говоря, комплексная постоянная, i мни
мая единица, а канонические эллиптические интегралы Лежандра выра
жаются, как обычно, формулами
F (z, k)=
z
0
dt
(1 − t
2
)(1 − k
2
t
2
)
,E(z,k)=
z
0
(1 − k
2
t
2
)
(1 − t
2
)
dt,
Π(z,ν, k)=
z
0
dt
(1 − νt
2
)
(1 − t
2
)(1 − k
2
t
2
)
;
(14.3.30)
k =
2C
2
+1±
√
1+4C
2
2C
2
(14.3.31)
есть модуль эллиптических интегралов.
Верхний предел z в эллиптических интегралах необходимо выбирать
так, чтобы он всегда попадал на тот интервал вещественной оси, где под
коренное выражение (1−t
2
)(1 −k
2
t
2
) было бы отрицательным. В пределах
указанного интервала действительная часть эллиптических интегралов Ле
жандра постоянна и ее можно сложить с константой C
3
так, чтобы вели
чина h была действительной, как это и должно быть. При условии |k| > 1
имеем z ∈ (−1, −1/k) ∩ (1/k, 1),апри|k| < 1 z ∈ (−1/k, −1) ∩ (1, 1/k).
Заметим, что при C
2
> 0 и выборе положительного знака в (14.3.31)необ
ходимо k>1, и поэтому переменная z должна быть заключена в пределах
1
k
<z<1.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы