Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 377 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

14.3. Инвариантные решения, соответствующие оптимальной системе одномерных
подалгебр Θ
1
377
Исследуемая система уравнений приобретает следующий вид:
1
3
F
dF
dλ
−
dF
dλ
2
+
1
3
H
dH
dλ
−
dH
dλ
2
=0,
1
3
F
dH
dλ
−
dF
dλ
H
F =1.
(14.3.38)
Выразим из второго уравнения производную
dH
dλ
и подставим в пер-
вое уравнение. В результате получим квадратное уравнение относительно
dH
dλ
, решая которое находим выражение для
dH
dλ
. Подставляя полученное
выражение во второе уравнение, определяем производную
dF
dλ
. Разделив
затем одну из производных на другую, можно устранить зависимость от
переменной λ и получить уравнение первого порядка относительно пары
переменных F , H:
dH
dF
=
H
F
+
6(F
2
+ H
2
)
F
2
⎡
⎣
F (F
2
+ H
2
)
3
−
6H
F
±
#
F (F
2
+ H
2
)
3
2
− 36
⎤
⎦
−1
.
(14.3.39)
Мы не будем исследовать это уравнение, т.к. гораздо проще провести
анализ в рассматриваемом случае следующим образом.
Если сделать замену переменной ˜υ
2
= e
υ
2
в системе уравнений (14.1.4),
то она приобретет вид
∂f
∂υ
1
∂f
∂˜υ
2
+
∂h
∂υ
1
∂h
∂˜υ
2
=0,
∂f
∂υ
1
∂h
∂˜υ
2
−
∂f
∂˜υ
2
∂h
∂υ
1
f =
1
˜υ
2
,
(14.3.40)
а ее решение необходимо будет искать в форме автомодельного
f =
3
√
υ
1
Φ(
˜
λ),
h =
3
√
υ
1
Ψ(
˜
λ),
(14.3.41)
где
˜
λ =˜υ
2
/υ
1
= e
λ
. Такое решение уже было найдено ранее в статье [4]. Для
определения функций Φ и Ψ имеем систему обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (штрих обозначает дифференцирование по автомодельной
переменной
˜
λ):
$
Φ(
˜
λ)Ψ
(
˜
λ) − Φ
(
˜
λ)Ψ(
˜
λ)
Φ(
˜
λ)=3
˜
λ
−1
,
(Φ(
˜
λ) − 3
˜
λΦ
(
˜
λ))Φ
(
˜
λ)+(Ψ(
˜
λ) − 3
˜
λΨ
(
˜
λ))Ψ
(
˜
λ)=0.
(14.3.42)
Ю.Н. Радаев

Страницы