Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 378 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

378
Глава 14. Инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений
осесимметричной задачи математической теории пластичности
Эта система уравнений заменой неизвестных функций
Φ(
˜
λ)=ρ cos ι, Ψ(
˜
λ)=ρ sin ι (14.3.43)
сводится к системе уравнений (штрих по-прежнему обозначает дифферен
цирование по переменной
˜
λ)
˜
λρ
3
ι
cos ι =3,
ρρ
− 3
˜
λ(ρ
)
2
− 3
˜
λ(ρι
)
2
=0.
(14.3.44)
Выражая из первого уравнения системы (14.3.44) переменную
˜
λ иподстав
ляя во второе уравнение, получим, что зависимость от переменной
˜
λ будет
устранена. Вводя замену W =lnρ, приходим к уравнению
dW
dι
2
−
e
3W
9
dW
dι
cos ι +1=0. (14.3.45)
Это уравнение было изучено в работе [2] и ему соответствуют следую
щие значения постоянных l
1
и l
2
: l
1
=0и l
2
= −1.
Совершая замены u =sinι и w = −
e
−3W
3
, окончательно приходим к
уравнению
dw
du
2
−
1
9
dw
du
+
9w
2
1 − u
2
=0. (14.3.46)
14.3.6. Критерий инвариантности (ς
4
· ∂)I =0приводит к характери
стической системе
dυ
1
0
=
dυ
2
1
=
df
0
=
dh
0
(14.3.47)
и инвариантам
I
1
= υ
1
,I
2
= f, I
3
= h. (14.3.48)
Если разыскивать решение системы дифференциальных уравнений (14.1.4)
вформе
f = F (υ
1
),h= H(υ
1
), (14.3.49)
то второе уравнение указанной системы будет представлять собой несов
местное равенство. Следовательно, данной подалгебре не соответствует ни
одно инвариантное решение системы (14.1.4).
14.3.7. Критерий инвариантности (ς
1
− ς
2
± ς
3
) · ∂I =0приводит к
характеристической системе (если заменить (ς
3
·∂) ”растянутым” аналогом
6(ς
3
· ∂))
dυ
1
±6
=
dυ
2
6υ
2
=
df
2f
=
dh
2h
, (14.3.50)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы