ВУЗ:
Составители:
38
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
как функцию переменных N
1
, N
2
, N
3
, при ограничении
N
2
1
+ N
2
2
+ N
2
3
− 1=0.
Это типичная задача на условный экстремум, решение которой может быть
получено с помощью метода множителей Лагранжа. Составим функцию
Лагранжа Φ=τ
2
N
+γ(N
2
1
+N
2
2
+N
2
3
−1),гдеγ — неопределенный множитель
Лагранжа. Те значения переменных N
1
, N
2
, N
3
, для которых величина τ
2
N
экстремальна, являются решением системы уравнений
∂Φ
∂N
1
=0,
∂Φ
∂N
2
=0,
∂Φ
∂N
3
=0,N
2
1
+ N
2
2
+ N
2
3
=1,
или более подробно
N
1
σ
2
1
− 2σ
1
(σ
1
N
2
1
+ σ
2
N
2
2
+ σ
3
N
2
3
)+γ
=0,
N
2
σ
2
2
− 2σ
2
(σ
1
N
2
1
+ σ
2
N
2
2
+ σ
3
N
2
3
)+γ
=0,
N
3
σ
2
3
− 2σ
3
(σ
1
N
2
1
+ σ
2
N
2
2
+ σ
3
N
2
3
)+γ
=0,
N
2
1
+ N
2
2
+ N
2
3
=1.
(1.1.1)
Решения этой системы вида
N
1
= N
2
=0,N
3
=1,γ= σ
2
3
;
N
1
= N
3
=0,N
2
=1,γ= σ
2
2
;
N
2
= N
3
=0,N
1
=1,γ= σ
2
1
следует отбросить, так как для этих направлений τ
2
N
=0, а следовательно
и τ
N
, достигает минимума.
Рассмотрим сначала случай, когда главные напряжения различны меж-
ду собой и занумеруем главные оси тензора напряжений так, чтобы выпол-
нялось условие σ
1
>σ
2
>σ
3
.
Докажем, что не существует такого решения рассматриваемой системы
уравнений (1.1.1), что все три компоненты N
j
отличны от нуля. Действи-
тельно, исключая γ из третьего уравнения и подставляя в первые два,
имеем
σ
1
+ σ
3
− 2(σ
i
N
2
i
)=0,
σ
2
+ σ
3
− 2(σ
i
N
2
i
)=0,
и, следовательно, σ
1
− σ
2
=0, что противоречит неравенству σ
1
>σ
2
.
Таким образом, решение системы (1.1.1) имеет смысл искать, например,
при условии N
1
=0, N
2
=0, N
3
=0.
Первое уравнение системы (1.1.1) тогда удовлетворяется, а исключая γ
из второго уравнения и подставляя в третье, и учитывая уравнение норми-
ровки, получим решение системы (1.1.1) в виде (знаки в приводимой ниже
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
