Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

42
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
будет иметь следующий вид:
4J
2
3
− 27J
3
2
− 9Y
2
J
2
2
+6Y
4
J
2
= Y
6
(1.1.9)
или
8(2k
2
− J
2
)
3
− 4J
2
2
(3k
2
− J
2
)+27J
3
2
=0. (1.1.10)
Уравнение призмы в такой сложной форме (найденное впервые М. Леви)
практически бесполезно,
42
никогда не применяется и представляет глав
ным образом исторический интерес.
43
Поэтому в дальнейшем предпочтение
отдается уравнению (1.1.2).
Имеется одна весьма важная трактовка величины интенсивности каса
тельных напряжений τ
i
, предложенная В.В. Новожиловым.
44
Оказывается,
что интенсивность касательных напряжений есть с точностью до множи
теля средне-квадратичное (усреднение производится по всем возможным
ориентациям в пространстве в заданной точке, т.е. по сфере единичных
направлений) значение касательных напряжений, вычисленных для всех
элементарных площадок, проходящих через заданную точку. Более точно,
справедливо равенство
1
4π
|N|=1
τ
2
N
dS =
1
√
15
(σ
1
− σ
2
)
2
+(σ
2
− σ
3
)
2
+(σ
3
− σ
1
)
2
,
где интегрирование производится по сфере единичных направлений; τ
N
величина касательного напряжения, действующего на площадке нормаль
42
Особенно если сравнивать это уравнение с уравнением цилиндра Мизеса J
2
= k
2
. Условие пластич
ности Мизеса (1913 г.), как известно, устанавливает в качестве признака пластического состояния кри
тическое значение интенсивности касательных напряжений, определяемой согласно А.А. Ильюшину
([12], с. 26) как
τ
i
=
1
3
(σ
1
− σ
2
)
2
+(σ
2
− σ
3
)
2
+(σ
3
− σ
1
)
2
.
Величина τ
i
есть также октаэдрическое касательное напряжение τ
oct
(касательное напряжение на пло
щадке, равнонаклоненной к главным осям тензора напряжений): τ
i
= τ
oct
. Условие пластичности Ми
зеса, в частности, может быть представлено в форме
τ
i
=
2
3
k.
А.А. Ильюшиным были установлены оценки ([12], с. 28, 29)
2
√
2
3
≥
τ
i
τ
max
≥
2
3
.
43
Как указывалось В.В. Соколовским, в оригинальной работе М. Леви цифры 3 и 4 во втором члене
уравнения (1.1.10) ошибочно переменены местами, что было обнаружено И.Я. Штаерманом. См. по
этому поводу: Соколовский В.В. Теория пластичности. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. С. 67, 68.
44
Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластич
ности// Прикл. матем. и механика. 1952. Т. 16. Вып. 5. С. 617-619. Эта статья воспроизводится также
в книгах: Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. С. 70-72; Новожилов В.В. Вопросы
механики сплошной среды. Л.: Судостроение, 1989. С. 151-154.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы