Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

44
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы
Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений
так, чтобы выполнялось равенство
σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k.
Последнее условие означает, что два главных напряжения равны по вели-
чине, а главное напряжение σ
3
является либо наименьшим, либо наиболь-
шим главным нормальным напряжением.
Сделаем одно существенное для всего дальнейшего изложения замеча-
ние. Равенство двух главных напряжений σ
1
= σ
2
означает, что любое на-
правление, расположенное в плоскости, ортогональной вектору n, является
главным. Ясно поэтому, что при соответствии напряженного состояния реб-
ру призмы Кулона—Треска имеется известная доля произвола при выборе
собственных векторов l и m (они определены с точностью до поворотов в
плоскости, ортогональной вектору n). Их преимущественное положение в
упомянутой плоскости может быть указано только либо (1) после анализа
тензора приращений пластических деформаций dε
P
, который в силу ассо-
циированного закона течения должен быть соосен тензору напряжений σ и
обладает, вообще говоря, уникальным триэдром главных направлений; ли-
бо (2) условиями ”подгонки” триэдра l, m, n до триортогональной системы.
Все эти вопросы будут затронуты ниже, в разделе 1.5.
Так как l, m, n — ортонормированный базис, то
l ⊗ l + m ⊗ m + n ⊗ n = I, (1.2.2)
где I — единичный тензор.
Учитывая (1.2.1), (1.2.2) и уравнение ребра призмы Кулона—Треска
σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k, получим
σ =(σ
3
± 2k)I ∓ 2kn ⊗ n. (1.2.3)
Таким образом, тензор напряжений определяется скалярным полем σ
3
и единичным векторным полем n.
Уравнение равновесия divσ = 0 после подстановки в него разложения
(1.2.3) можно представить в следующем виде:
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (1.2.4)
Следовательно, задача о равновесии тела, напряженное состояние кото-
рого соответствует ребру призмы Кулона—Треска, формально статически
определима (поскольку имеется ровно три уравнения для определения трех
неизвестных: собственного значения σ
3
и, например, двух углов, задающих
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы