Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Инвариантные формы пространственных уравнений равновесия 45
ориентацию единичного вектора n), если граничные условия заданы в на-
пряжениях. Уравнения равновесия могут быть рассмотрены независимо от
кинематических уравнений.
46
Обозначим через Σ отношение σ
3
к ∓2k и приведем уравнение (1.2.4)к
виду:
gradΣ + div(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (1.2.5)
В декартовых координатах векторное уравнение (1.2.5) эквивалентно
системе трех скалярных уравнений (i, k =1, 2, 3):
∂Σ
∂x
i
+ n
k
∂n
i
∂x
k
+ n
i
∂n
k
∂x
k
=0 (n
k
n
k
=1).
Отметим также еще одну инвариантную форму уравнения (1.2.5):
∇Σ+(n · ∇)n + n(∇ · n)=0, (1.2.6)
где ∇ — пространственный оператор Гамильтона.
Для единичного векторного поля справедлива формула
47
(n · ∇)n = −n × rot n, (1.2.7)
с помощью которой векторное уравнение (1.2.6) может быть также пред-
ставлено в виде
∇Σ − n × rot n + ndivn = 0. (1.2.8)
Это уравнение в силу своего инвариантного характера служит основой
для всех последующих рассмотрений и оказывается исключительно удоб-
ным для геометрического исследования поля n.
46
По поводу термина ”статически определимая задача” и смысла, который в него вкладывается раз
ными авторами см. [6], с. 158-159, с. 278-280. В известной книге [8] (с. 135) статически определимыми
называются такие задачи, когда имеется полная система уравнений и граничных условий для опреде
ления напряженного состояния (притом независимо от деформаций). В [8] (с. 259) используется также
термин ”локально статически определимая задача”.
Термин ”статически определимая задача” был введен Генки в 1923 г., чтобы охарактеризовать такие
случаи, когда независимо от граничных условий имеется столько уравнений, сформулированных отно
сительно напряжений, сколько неизвестных компонент напряжений. Мы используем термин ”формаль
но статически определимая задача”, смысл которого в точности такой же. Формальная статическая
определимость еще не гарантирует того, что действительно можно определить поле напряжений (даже
если граничные условия сформулированы в напряжениях), не привлекая кинематических уравнений.
В тех случаях, когда это действительно удается сделать, мы будем вести речь о фактической ста
тической определимости. Различие между формальной и фактической статической определимостью
было блестяще продемонстрировано Хиллом (см. [6], с. 278-280) на примере формально статически
определимой задачи плоского неустановившегося пластического течения: если найдется линия сколь
жения, пересекающая дважды границу раздела упругой и пластической зон, то одних лишь уравнений
в напряжениях недостаточно для их определения единственным образом.
47
Приводимая ниже формула является прямым следствием тождества
1
2
∇(n ·n)=(n · ∇)n + n × rot n
и условия n ·n =1.
Ю.Н. Радаев

Страницы