Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 433 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
433
системы дифференциальных уравнений (17.1.4). Группа преобразований
(17.2.1) позволяет тогда определить зависимости
˜
f =
˜
f(˜υ
1
, ˜υ
2
,ε),
˜
h =
˜
h(˜υ
1
, ˜υ
2
,ε).
Если они удовлетворяют в точности такой же системе дифференциальных
уравнений (17.2.7), то группа преобразований (17.2.1) называется группой
симметрий системы дифференциальных уравнений (17.1.4).
Таким образом, группа, относительно которой система дифференциаль-
ных уравнений инвариантна, есть также и группа симметрий этой систе-
мы. Полная группа симметрий данной системы дифференциальных урав-
нений — наибольшая группа преобразований, действующая на зависимые
и независимые переменные и обладающая свойством переводить решения
системы в другие ее решения.
Функция I(υ
1
,υ
2
,f,h) называется инвариантом группы преобразова-
ний (17.2.1), если
I(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h)=I(υ
1
,υ
2
,f,h),
где аргументы связаны формулами (17.2.1).
Инфинитезимальный оператор группы инвариантности системы обла-
дает свойством, что если его применить к инварианту I, то получим равное
нулю выражение:
(ς · ∂)I =0,
т.е. инвариант есть корень инфинитезимального оператора группы.
Учитывая (17.2.15), это условие инвариантности можно представить в
форме линейного уравнения в частных производных первого порядка:
((C
1
+ C
2
)υ
1
+ C
4
)
∂I
∂υ
1
+((C
1
− C
2
)υ
2
+ C
5
)
∂I
∂υ
2
+(C
1
f + C
3
h + C
6
)
∂I
∂f
+
+(C
1
h − C
3
f + C
7
)
∂I
∂h
=0,
(17.3.1)
где I(υ
1
,υ
2
,f,h) — инвариант системы дифференциальных уравнений (17.1.4).
Для его решения рассмотрим характеристическую систему
dυ
1
(C
1
+ C
2
)υ
1
+ C
4
=
dυ
2
(C
1
− C
2
)υ
2
+ C
5
=
=
df
C
1
f + C
3
h + C
6
=
dh
C
1
h − C
3
f + C
7
.
(17.3.2)
Удобно, прежде всего, совершить трансляцию декартовых координат
f
∗
= f − l
1
,h
∗
= h − l
2
,
Ю.Н. Радаев

Страницы