Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 435 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
435
инвариантно относительно группы преобразований (17.2.1), если
Φ
1
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h)=0, Φ
2
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h)=0, (17.3.6)
где, как обычно, переменные υ
1
, υ
2
, f, h и ˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h связаны формулами
группового преобразования (17.2.1). Кроме того, мы предполагаем отлич-
ным от нуля якобиан ∂(Φ
1
, Φ
2
)/∂(f,h).
С геометрической точки зрения каждому инвариантному решению (17.3.5)
соответствует инвариантное многообразие размерности 2 в четырехмерном
пространстве, арифметизованном с помощью координат υ
1
, υ
2
, f, h.
Ясно, что достаточное условие инвариантности решения (17.3.5)систе-
мы дифференциальных уравнений (17.1.4) заключается в том, чтобы функ-
ции
Φ
1
(υ
1
,υ
2
,f,h), Φ
2
(υ
1
,υ
2
,f,h)
были инвариантами группы симметрий этой системы, т.е.
(ς ·∂)Φ
1
=0,
(ς ·∂)Φ
2
=0.
Обратное утверждение неверно, однако можно доказать (см., например,
[10, с. 244, 245]), что если решение системы дифференциальных уравнений
(17.1.4), определяемое неявно в форме (17.3.5), инвариантно, то найдутся
инварианты J
1
, J
2
группы симметрий этой системы такие, что то же самое
решение будет задаваться неявно уравнениями
J
1
(I
1
,I
2
,I
3
)=0,J
2
(I
1
,I
2
,I
3
)=0 (17.3.7)
в том смысле, что переменные υ
1
, υ
2
, f, h будут удовлетворять системе
уравнений (17.3.5) тогда и только тогда, когда они будут удовлетворять
системе уравнений (17.3.7). Такую форму задания инвариантного решения
можно назвать канонической.
Заметим, что в рассматриваемом случае системы дифференциальных
уравнений в частных производных (17.1.4) функции J
1
, J
2
, задающие кано-
ническую форму инвариантного решения, будут определяться из системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
212
Итак, лишь те решения системы дифференциальных уравнений (17.1.4),
которые задаются неявно в форме двух зависимостей между базисными
212
Как известно, указанная система обыкновенных дифференциальных уравнений может вообще не
иметь решений, и в этом случае инвариантного решения существовать не будет (см., например, [10,с.
254] об условном существовании инвариантно-групповых решений).
Ю.Н. Радаев

Страницы