Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 437 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
437
Полученное уравнение приводится к автономному дифференциальному
уравнению первого порядка заменой
υ
∗
= e
t
, Λ=−2Ψ + ωt.
В результате имеем (точкой обозначается дифференцирование по перемен-
ной t):
213
−(1 + ω −
˙
Λ)(1 ±
1+C
−2
[1 − (ω −
˙
Λ)
2
])+
+(1 − ω +
˙
Λ)(1 ∓
1+C
−2
[1 − (ω −
˙
Λ)
2
]) = ±4C
−1
e
Λ
.
(17.3.11)
Вводя обозначение
P = ω −
˙
Λ, (17.3.12)
уравнение (17.3.11) представим в форме (знаки ± в левой и правой части
не согласованы)
− 2P ± 2
1+C
−2
[1 − P
2
]=±4C
−1
e
Λ
, (17.3.13)
откуда получаем квадратное уравнение относительно P
(1 + C
−2
)P
2
± 4C
−1
e
Λ
P +4C
−2
e
2Λ
− (1 + C
−2
)=0, (17.3.14)
дискриминант которого вычисляется как
D =(4C
−1
e
Λ
)
2
− 4(1 + C
−2
)(4C
−2
e
2Λ
− (1 + C
−2
)) = (4C
−1
e
Λ
)
2
−
−4(1 + C
−2
)4C
−2
e
2Λ
+ 4(1 + C
−2
)
2
= 4((1 + C
−2
)
2
− 4C
−4
e
2Λ
).
(17.3.15)
Поэтому находим, что (знаки ∓ и ± не согласованы)
P =
∓2C
−1
e
Λ
±
(1 + C
−2
)
2
− 4C
−4
e
2Λ
1+C
−2
. (17.3.16)
Полагая
e
Λ
= Q (17.3.17)
и разделяя переменные, имеем
(1 + C
−2
)dQ
ω(1 + C
−2
)Q ∓ 2C
−1
Q
2
± Q
(1 + C
−2
)
2
− 4C
−4
Q
2
= dt (17.3.18)
или (знаки ∓ и ± не согласованы)
dQ
ωQ ∓
2γ − γ
2
Q
2
± Q
1 − γ
2
Q
2
= dt, (17.3.19)
213
Напомним, что предполагается выполнение условий C =0, ω = ±1.
Ю.Н. Радаев

Страницы