Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 439 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
439
пространство размерности 7 с базисом из инфинитезимальных операторов
(ς
i
· ∂) наделяется стандартной алгебраической структурой с помощью би-
линейной операции коммутации операторов (скобка Пуассона операторов).
Чтобы доказать, что линейная оболочка операторов (ς
i
·∂) образует алгеб-
ру Ли, необходимо составить таблицу коммутации базисных инфинитези-
мальных операторов. Таблица коммутации, приведенная ниже, показывает,
что инфинитезимальные операторы (17.2.16) действительно определяют ал-
гебру Ли непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений
(17.1.4).
(ς
1
· ∂)(ς
2
· ∂)(ς
3
· ∂)(ς
4
· ∂)(ς
5
· ∂)(ς
6
· ∂)(ς
7
· ∂)
(ς
1
· ∂) 00 0−(ς
4
· ∂) −(ς
5
· ∂) −(ς
6
· ∂) −(ς
7
· ∂)
(ς
2
· ∂) 00 0−(ς
4
· ∂)(ς
5
· ∂)0 0
(ς
3
· ∂) 00000(ς
7
· ∂) −(ς
6
· ∂)
(ς
4
· ∂) (ς
4
· ∂)(ς
4
· ∂)00000
(ς
5
· ∂) (ς
5
· ∂) −(ς
5
· ∂)00000
(ς
6
· ∂) (ς
6
· ∂)0−(ς
7
· ∂)0000
(ς
7
· ∂) (ς
7
· ∂)0 (ς
6
· ∂)0000
Структура общего инфинитезимального оператора (17.2.15) может быть
проанализирована с помощью внутренних автоморфизмов рассматривае-
мой алгебры Ли.
Чтобы найти внутренние автоморфизмы алгебры Ли, необходимо ре-
шить уравнение Ли (см. [10, с. 188]):
∂ς
∂τ
=[ς
,ς
i
] (17.4.1)
с начальным условием
ς
(0) = ς. (17.4.2)
Поясним, что ς
— касательное векторное поле, в которое переходит каса-
тельное векторное поле ς под действием однопараметрической группы пре-
образований, заданной уравнением Ли.
Заметим, что в терминах инфинитезимальных операторов уравнение
(17.4.1) имеет вид
∂
∂τ
(ς
· ∂)=[(ς
· ∂), (ς
i
· ∂)],
а начальное условие (17.4.2)—
(ς
· ∂)|
τ=0
=(ς · ∂).
Для каждого базисного вектора ς
j
(j = 1, 7) имеем соответствующую
однопараметрическую группу внутренних автоморфизмов, действующую
Ю.Н. Радаев

Страницы