Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 441 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
441
ному простейшему представителю и формируем оптимальную систему од-
номерных подалгебр Θ
1
алгебры непрерывных симметрий системы диффе-
ренциальных уравнений в частных производных (17.1.4).
При поиске указанных простейших представителей, кроме однопарамет-
рических групп автоморфизмов, будем применять также преобразование,
заключающееся в умножении инфинитезимального оператора на некото-
рую постоянную (так называемое преобразование умножения).
Рассмотрим, как изменяются постоянные C
i
в представлении общего
инфинитезимального оператора (17.2.15) группы симметрий системы урав-
нений (17.1.4) при применении к ним однопараметрических групп автомор-
физмов (1)–(7) из приведенного выше списка (17.4.3).
Рассмотрим постоянные C
6
и C
7
как компоненты вектора A на плоско-
сти x
1
, x
2
. Тогда автоморфизм (3) представляет собой поворот этого векто-
ра на различные углы τ относительно начала координат.
Если вектор A ненулевой (т.е. хотя бы одна из его компонент C
6
или C
7
не равна нулю) и хотя бы один из коэффициентов C
1
и C
3
не равен нулю,
то такими поворотами можно перевести вектор A в положение, когда он
будет коллинеарен вектору с компонентами −C
1
и C
3
. Применяя далее ав-
томорфизм (6), можно добиться того, чтобы коэффициенты C
6
и C
7
стали
нулевыми.
Если вектор A ненулевой, но оба коэффициента C
1
и C
3
равны нулю,
то не удается одновременно привести к нулевым значениям коэффициенты
C
6
и C
7
. Однако поворотом (3) можно перевести вектор A в положение,
когда коэффициент C
7
(или C
6
) становится нулевым.
Таким образом, при любых обстоятельствах можно добиться того, что-
бы выполнялось равенство C
7
=0(или C
6
=0). Поэтому в дальнейших
рассуждениях мы полагаем, что C
7
=0, правда, тогда придется допол-
нить оптимальную систему элементами, которые получаются в результате
замены индекса 6 на 7.
Если C
1
, C
2
выбираются так, что C
1
±C
2
=0и C
1
=0, то,
215
применяя
автоморфизмы (4), (5) при τ, равном соответственно
C
4
C
1
+ C
2
и
C
5
C
1
− C
2
,
можно привести к нулевому значению коэффициенты C
4
, C
5
. Применяя
затем преобразование умножения, приводим коэффициент C
1
к единице и
получаем простейших представителей вида:
(ς
1
· ∂)+D
1
(ς
2
· ∂)+D
2
(ς
3
· ∂), (17.4.4)
где D
1
, D
2
— произвольные постоянные.
Если C
1
± C
2
=0,ноC
1
=0и C
3
=0, то коэффициенты C
6
и C
7
приводятся к нулевым значениям, применяя преобразование умножения,
215
Как было только что показано, при указанных условиях коэффициенты C
6
и C
7
приводятся к
нулевым значениям.
Ю.Н. Радаев

Страницы