Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 436 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

436
Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
инвариантами I
1
, I
2
, I
3
, являются инвариантными. В частности, инвари-
антные решения можно искать в форме
ln r
∗
=ln
(υ
1
∗
)
α
(υ
2
∗
)
β
+Ψ(υ
∗
),
ϕ
∗
= C
−ln
(υ
1
∗
)
α
(υ
2
∗
)
β
+Φ(υ
∗
)
.
(17.3.8)
Функции Φ и Ψ должны удовлетворять системе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, которая получается при подстановке (17.3.8)в
(17.1.4).
Второе уравнение системы (17.1.4) сводится к обыкновенному диффе-
ренциальному, только если
1
α
+
1
β
=2,
что выполняется в силу (17.3.3). Полагая для удобства
α =
1
1+ω
,β=
1
1 − ω
,
приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, определяющей инвариантные решения (17.1.4):
1
4
− (υ
∗
)
2
Ψ
2
+ C
2
1
4
− (υ
∗
)
2
Φ
2
=0,
1
2
+ υ
∗
Ψ

1
2
+ υ
∗
Φ
−
1
2
− υ
∗
Ψ

1
2
− υ
∗
Φ
= ∓C
−1
e
−2Ψ
(υ
∗
)
ω
.
(17.3.9)
Здесь штрихом обозначается дифференцирование по автомодельной пере-
менной υ
∗
.
Исключая производную υ
∗
Φ
, можно получить одно неавтономное урав-
нение первого порядка для функции Ψ(υ
∗
):
−
1
2
+ υ
∗
Ψ
!
1
2
±
#
1
4
+ C
−2
1
4
− (υ
∗
)
2
Ψ
2
"
+
+
1
2
− υ
∗
Ψ
!
1
2
∓
#
1
4
+ C
−2
1
4
− (υ
∗
)
2
Ψ
2
"
=
= ±C
−1
e
−2Ψ
(υ
∗
)
ω
.
(17.3.10)
В этом уравнении знаки ± и ∓ в левой части согласованы, а в правой —
выбор знака может осуществляться независимо.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы