ВУЗ:
Составители:
48
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
также и поверхностями максимального касательного напряжения (поверх-
ностями скольжения). Характеристическими являются не только поверхно-
сти скольжения, но и, согласно (1.2.18), интегральные поверхности поля n
(т.е. поверхности, составленные из интегральных кривых векторного поля
n).
Уравнение (1.2.5) было получено при условии, что напряженное состо-
яние соответствует ребру призмы Кулона—Треска. Тем не менее удает-
ся показать, что этим же самым уравнением определяется поле напряже-
ний в условиях пластического плоского деформированного состояния, кото-
рое, очевидно, соответствует грани призмы Кулона—Треска. Заметим, что
пластическое плоское деформированное состояние формально статически
определимо.
При использовании критерия текучести Треска
f(σ
1
,σ
2
,σ
3
)=
(σ
1
− σ
2
)
2
− Y
2
(σ
3
− σ
1
)
2
− Y
2
(σ
2
− σ
3
)
2
− Y
2
=0
на основании сформулированного в главных осях напряжений ассоцииро-
ванного закона течения
48
dε
P
j
=
∂f
∂σ
j
dλ
с учетом того, что в условиях плоского деформированного состояния третье
направление главное и dε
P
3
=0, находим
∂f
∂σ
3
=2
(σ
1
− σ
2
)
2
− Y
2
(σ
3
− σ
1
)(σ
3
− σ
2
) − Y
2
σ
3
− σ
1
+ σ
3
− σ
2
=0,
откуда сразу же следует
σ
3
=
1
2
(σ
1
+ σ
2
),
т.е. σ
3
— медианное главное нормальное напряжение.
49
Соотношение σ
3
=
1
2
(σ
1
+ σ
2
) между главными нормальными напряжениями приводит к за-
48
В приводимой ниже записи ассоциированного закона течения dε
P
j
— собственные значения тензора
приращений пластических деформаций dε
P
, которые, вообще говоря, отличны от приращений собствен-
ных значений ε
P
j
тензора пластических деформаций ε
P
. Поэтому спектральное разложение тензора dε
P
в силу соосности тензора приращений пластических деформаций и тензора напряжений будет иметь
следующий вид:
dε
P
= l ⊗ ldε
P
1
+ m ⊗ mdε
P
2
+ n ⊗ ndε
P
3
.
При этом следует учитывать одно важное обстоятельство: для состояний на ребре призмы Кулона—
Треска σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k собственные векторы тензора напряжений l, m могут указывать на любое
направление, ортогональное вектору n, в то время как в спектральном разложении тензора dε
P
они
ориентированы, вообще говоря, без какой бы то ни было степени произвола, т.е. указывают на вполне
определенные направления в пространстве.
49
На самом деле условие
∂f
∂σ
3
=0
выполняется также, если
(σ
3
− σ
1
)(σ
3
− σ
2
) − 4k
2
=0,
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
