Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Инвариантные формы пространственных уравнений равновесия 51
где p =1/2(σ
11
+ σ
22
)=1/2(σ
1
+ σ
2
), θ — угол наклона к оси x
1
главной
оси напряжений, соответствующей наибольшему главному напряжению σ
1
.
Напомним, что p = σ
3
для условий текучести Мизеса и Треска.
Уравнения равновесия жесткопластического тела в случае плоской де-
формации имеют вид (см., например, [9])
∂p
∂x
1
− 2k(sin 2θ
∂θ
∂x
1
− cos 2θ
∂θ
∂x
2
)=0,
∂p
∂x
2
+2k(cos 2θ
∂θ
∂x
1
+sin2θ
∂θ
∂x
2
)=0
(1.2.23)
и получаются подстановкой соотношений Леви (1.2.22) в уравнения равно-
весия.
Если ввести обозначение Σ=p/(2k) и плоское векторное поле n ском-
понентами n
1
= cos θ, n
2
=sinθ, то уравнения (1.2.23) приводятся к дву-
мерному уравнению (1.2.5). Тем самым устанавливается аналогия между
статическими уравнениями плоского деформированного состояния и про-
странственными уравнениями для ребра призмы Кулона—Треска, и нахо-
дит объяснение гиперболичность соответствующих систем уравнений. Диф-
ференциальные уравнения характеристик в случае плоской деформации
(линий скольжения) есть:
dx
2
dx
1
=tg
θ −
π
4
,
dx
2
dx
1
=tg
θ +
π
4
,
т.е. они делят пополам угол между главными направлениями тензора на-
пряжений в плоскости течения.
Квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных про-
изводных (1.2.23) является приводимой: она сводится к линейной системе
после перемены ролей зависимых и независимых переменных.
51
Итак, уравнение (1.2.5) обладает необходимой степенью общности, опи-
сывая также напряженные состояния, соответствующие грани призмы Трес-
ка.
52
51
См., например, [8], с. 407, 408.
52
Известно, что уравнения теории плоского напряженного состояния (в отличии от случая плоской
деформации) не могут быть получены как частный случай пространственных уравнений. Это обсто-
ятельство отмечалось многими авторами (см., например, [7], с. 261). Поэтому уравнения плоского на-
пряженного состояния не могут рассматриваться как частный случай трехмерных уравнений теории
пластичности. Тем не менее плоское напряженное состояние идеально пластического тела характеризу-
ется формальной статической определимостью. Уравнения равновесия, сформулированные с помощью
условия текучести Мизеса, образуют замкнутую систему двух дифференциальных уравнений первого
порядка, которая имеет переменный аналитический тип.
Уравнения пластического плоского напряженного состояния были получены и исследованы
В.В. Соколовским (1945 г.), а также Р. Хиллом (1949 г.). Основные соотношения теории пластическо-
го плоского напряженного состояния рассматриваются в монографиях [8], [9]. Теория общей плоской
задачи изложена в [7].
Ю.Н. Радаев

Страницы