ВУЗ:
Составители:
52
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
В связи с тем, что характеристические направления существенно за
висят от ориентации вектора n, в дальнейшем исследовании уравнений
пространственной задачи математической теории пластичности будут ис
пользоваться некоторые результаты из геометрической теории векторных
полей, изложенные, например, в [24], или в более раннем и полном источ
нике [25], с. 177-181.
Геометрия единичного векторного поля n полностью описывается его
интегральными линиями (векторными линиями поля). С каждой интеграль
ной линией связан триэдр Френе (касательный вектор τ = n, вектор глав
ной нормали ν, вектор бинормали β) и два инварианта: кривизна κ икру
чение τ .
Производные вдоль линии поля n векторов триэдра Френе раскладыва
ются по векторам триэдра и определяются формулами Френе:
(n · ∇)n = κν,
(n · ∇)ν = −κn + τβ,
(n · ∇)β = −τν
(1.2.24)
или в матричной форме
(n · ∇)
⎛
⎝
n
ν
β
⎞
⎠
=
⎛
⎝
0 κ 0
−κ 0 τ
0 −τ 0
⎞
⎠
⎛
⎝
n
ν
β
⎞
⎠
.
Кривизна κ и кручение τ векторной линии поля n вычисляются как
κ = |(n · ∇)n|,
τ =
< n, (n ·∇)n, (n ⊗ n ··∇ ⊗ ∇)n >
|(n · ∇)n|
2
.
(1.2.25)
Здесь треугольными скобками обозначается смешанное произведение век
торов.
Первая из формул Френе (1.2.24) с помощью соотношения (1.2.7)поз
воляет получить формулу Гамильтона (W.R. Hamilton) для кривизны век
торной линии единичного поля n (см. также [24], с. 23, 24). Согласно этой
формуле, вектор кривизны κ векторной линии поля n вычисляется как
κ = −n × rot n. (1.2.26)
Напомним, что вектор кривизны κ по модулю равен кривизне линии и
направлен по главной нормали: κ = κν.
Из формулы Гамильтона следует, что вектор rot n принадлежит спрям
ляющей плоскости векторной линии поля n. Скалярным умножением (1.2.26)
на ν находится следующее выражение для кривизны линии поля:
κ = β · rot n, (1.2.27)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
