Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

54
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
условию ∆f =0, и, следовательно, будет представлять собой совместный
интеграл указанных уравнений. Ясно, что полному интегралу уравнения
эйконала отвечает равномерное пространственное напряженное состояние:
вектор n не изменяется и совпадает с вектором k, главные напряжения
также постоянны.
Потенциальность векторного поля n означает также, что его можно рас
сматривать как поле нормалей к семейству поверхностей уровня потенци
ала f(x
1
,x
2
,x
3
) = const. Так как векторные линии поля n прямолинейны,
то каждая индивидуальная векторная линия будет нормально пересекать
каждую из поверхностей семейства f(x
1
,x
2
,x
3
) = const.Ноэтоможет
быть только тогда, когда поверхности уровня образуют семейство эквиди
стантных по отношению к некоторой фиксированной (базовой) поверхности
уровня f(x
1
,x
2
,x
3
)=˜c поверхностей.
Продолжить исследование вырожденного поля n оказывается удобным
в специальным образом подобранной криволинейной координатной систе
ме. На базовой поверхности f(x
1
,x
2
,x
3
)=˜c выберем некоторые Гауссо
вы параметры ξ
1
, ξ
2
. Тогда параметризация этой поверхности будет иметь
вид: x
i
=˜x
i
(ξ
1
,ξ
2
). Обозначим через ξ
3
расстояние от рассматриваемой по
верхности до типичной эквидистантной поверхности f(x
1
,x
2
,x
3
) = const,
измеренное вдоль нормали. Ясно, что в области вырожденного поля пере
менные ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
можно принять в качестве криволинейных координат:
x
i
=˜x
i
(ξ
1
,ξ
2
)+ξ
3
n
i
. (1.3.4)
Метрический тензор, введенной таким образом в области вырожденного
поля криволинейной сетки, вычисляется как (см., например, [26], с. 212-215)
g
αβ
=˜a
αβ
(1 − (ξ
3
)
2
˜
K) − 2ξ
3
˜
b
αβ
(1 − ξ
3
˜
H)(α, β =1, 2),
g
α3
=0,g
33
=1,
(1.3.5)
где ˜a
αβ
коэффициенты первой квадратичной формы базовой поверхно
сти,
˜
b
αβ
коэффициенты второй квадратичной формы базовой поверхно
сти,
˜
K полная (Гауссова) кривизна,
˜
H средняя кривизна базовой по
верхности.
55
В новых координатах потенциал f поля n, удовлетворяющий уравнению
эйконала |∇f| =1, примет наиболее простой вид: f = ξ
3
.
55
См. монографию [27] и фундаментальное двухтомное сочинение [28], [29] по поводу основных по-
нятий дифференциальной геометрии поверхностей. Здесь только отметим формулы
˜
K =
det
˜
b
αβ
det ˜a
αβ
,
˜
H =
1
2
˜g
αβ
˜
b
αβ
.
В последующих разделах работы мы будем использовать определение средней кривизны поверхно-
сти, отличающееся знаком от приведенного здесь.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы