ВУЗ:
Составители:
1.3. Вырожденные решения пространственной задачи для ребра призмы Кулона–Треска55
Условие интегрируемости (1.3.2), т.е. условие независимости интеграла
(1.3.3) от пути интегрирования, в силу ([26], с. 105)
∆f =
1
2
∂
∂ξ
3
ln g,
где g — детерминант матрицы, составленной из компонент метрического
тензора криволинейной координатной системы (1.3.4), можно представить
вформе
∂
∂ξ
α
∂
∂ξ
3
ln g =0 (α, β =1, 2). (1.3.6)
Заметим что в этом уравнении после дифференцирования по ξ
3
можно
положить ξ
3
=0, поскольку условие интегрируемости (1.3.6) имеет гео-
метрический характер и относится ко всему семейству поверхностей, а вы-
бор базовой поверхности ξ
3
=0чисто условен. Поэтому, положив в (1.3.6)
ξ
3
=0и получив то или иное условие, его надо будет затем распространить
на все поверхности семейства.
Подсчитывая величину g с помощью (1.3.5), выполняя дифференциро-
вание в (1.3.6)поξ
3
и полагая ξ
3
=0, приходим к соотношению
∂
∂ξ
α
˜g
11
˜
b
22
+˜g
22
˜
b
11
− 2˜g
12
˜
b
12
˜g
11
˜g
22
− ˜g
2
12
=0 (α, β =1, 2)
или
∂
∂ξ
α
(˜g
11
˜
b
11
+˜g
22
˜
b
22
+2˜g
12
˜
b
12
)=0 (α, β =1, 2),
что означает
∂
˜
H
∂ξ
α
=0 (α, β =1, 2).
Распространяя полученный результат на все поверхности семейства,
приходим к заключению, что в области вырожденного поля средняя кри-
визна каждой поверхности эквидистантного семейства должна быть посто-
янной величиной, возможно, изменяющейся при переходе от одной поверх-
ностикдругой:H = H(ξ
3
). Но средняя и полные кривизны семейства эк-
видистантных поверхностей связаны согласно (см., например, [27], с. 203)
H =
˜
H − ξ
3
˜
K
1+(ξ
3
)
2
˜
K − 2ξ
3
˜
H
,K=
˜
K
1+(ξ
3
)
2
˜
K − 2ξ
3
˜
H
,
H
2
− 4K
K
2
=
˜
H
2
− 4
˜
K
˜
K
2
,
(1.3.7)
причем эти формулы справедливы для значений ξ
3
, удовлетворяющих нера-
венствам
1 − ˜κ
1
ξ
3
> 0, 1 − ˜κ
2
ξ
3
> 0,
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
