Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

56
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
где ˜κ
1
, ˜κ
2
— главные кривизны базовой поверхности.
Условие интегрируемости H = H(ξ
3
) с учетом (1.3.7) сводится к тому,
что отношение
1 − ξ
3
˜
H
˜
H −ξ
3
˜
K
зависит только от ξ
3
, что возможно, только если полная и средняя кри-
визны базовой поверхности есть некоторые постоянные.
56
Ясно, что плос-
кость, круговой цилиндр и сфера — простейшие поверхности, удовлетворя-
ющие этому условию. Выясним, возможны ли другие формы поверхностей
уровня потенциала вырожденного поля. Для этого воспользуемся тем, что
первую квадратичную форму поверхности постоянной средней кривизны,
отличной от сферы, можно в изометрических координатах ξ, η представить
в виде ([27], с. 196, 197):
ds
2
=
1
√
E
(dξ
2
+ dη
2
),
где E = H
2
− K>0 — Эйлерова разность поверхности.
57
Так как H и K постоянны, то трансформацией растяжения можно вве-
сти координаты
ξ, η, в которых
ds
2
= dξ
2
+ dη
2
.
Но это означает, что поверхность развертывается на плоскость, т.е. имеет
нулевую полную кривизну.
Итак, поверхности уровня потенциала вырожденного поля (за исклю-
чением сферической поверхности) имеют нулевую полную кривизну и по-
стоянную среднюю кривизну. Как известно ([27], с. 181), всякая поверх-
ность нулевой полной кривизны есть часть плоскости или цилиндра, или
56
То же самое, естественно, относится и к любой поверхности уровня потенциала вырожденного
поля. Отметим также, что если уравнение x
3
= x
3
(x
1
,x
2
) задает поверхность с постоянной полной и
средней кривизной, то одновременно должны удовлетворяться уравнения
2H =
(1 + q
2
)r −2pqs +(1+p
2
)t
(1 + p
2
+ q
2
)
3/2
=const,
K =
rt − s
2
(1 + p
2
+ q
2
)
3/2
=const,
где использованы обозначения Монжа (G. Monge)
p =
∂x
3
∂x
1
,q=
∂x
3
∂x
2
,r=
∂
2
x
3
∂x
2
1
,s=
∂
2
x
3
∂x
1
∂x
2
,t=
∂
2
x
3
∂x
2
2
.
57
Здесь еще необходимо предполагать, что на поверхности отсутствуют омбилические точки, т.е.
такие точки, в которых Эйлерова разность поверхности становится нулевой. Можно показать, что
омбилические точки на поверхности постоянной средней кривизны, если она отлична от плоскости и
сферы, изолированы. Для плоскости и сферы E =0всюду на поверхности. Только плоскость и сфера
сплошь состоят из омбилических точек.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы