Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.4. Невырожденные решения пространственной задачи для ребра призмы
Кулона–Треска
57
конуса, или поверхности касательных к пространственной кривой. Ясно,
что плоскость имеет постоянную среднюю кривизну, равную нулю. Среди
цилиндров постоянной средней кривизной обладает только круговой ци-
линдр. Средняя кривизна конической поверхности не является постоянной.
В случае когда поверхность уровня образуется касательными к простран-
ственной кривой, которая называется стрикционной линией поверхности,
параметрическое уравнение поверхности имеет вид
x
k
= x
∗
k
(ξ
1
)+ξ
2
τ
∗
k
(ξ
1
),
где x
k
= x
∗
k
(ξ
1
) — параметризация стрикционной линии, τ
∗
k
— компоненты
касательного вектора к стрикционной линии. Расчет средней кривизны по-
верхности приводит к формуле (κ
∗
, τ
∗
— соответственно кривизна и круче-
ние стрикционной линии)
2H = −
τ
∗
ξ
2
κ
∗
,
с помощью которой можно заключить, что постоянство средней кривизны
обеспечивается только условием τ
∗
=0, т.е. стрикционная линия — плоская
кривая, а это означает, что поверхность, образуемая касательными, есть
некоторая область на плоскости.
Итак, поверхность уровня вырожденного поля есть часть плоскости,
кругового цилиндра или сферы и никакой другой формы эта поверхность
иметь не может.
Обращаясь к уравнению (1.3.3), замечаем, что на каждой из поверхно-
стей уровня потенциала f наибольшее (наименьшее) главное напряжение
σ
3
постоянно, в силу чего значение σ
3
зависит только от координаты ξ
3
.
1.4. Невырожденные решения пространственной зада-
чи для ребра призмы Кулона–Треска
Исследуем уравнение (1.2.8) в предположении, что n ×rot n = 0 всюду
в пластической зоне. В этом случае векторные линии поля n заведомо не
будут прямолинейными.
Умножая обе части уравнения (1.2.6) скалярно на n, rot n и n × rot n,
получим
n · gradΣ + divn =0, (1.4.1)
rot n · gradΣ + (n · rot n)divn =0, (1.4.2)
(n × rot n) · gradΣ −|n × rot n|
2
=0. (1.4.3)
Уравнения (1.4.1)–(1.4.3) позволяют найти траектории, вдоль которых
главное напряжение σ
3
не изменяется.
Ю.Н. Радаев

Страницы