Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Уравнения обобщенного ассоциированного закона течения на ребре призмы
Кулона–Треска
59
Можно указать еще одно направление p, производная от σ
3
вдоль кото-
рого равна нулю: если ориентировать вектор p ортогонально векторам s и
n так, что
p = s × n =
n ×rot n
|n × rot n|
× n,
то с помощью уравнений (1.4.1), (1.4.2) можно найти, что
p · ∇σ
3
=0. (1.4.6)
Нетрудно заметить, что направления t, h, p некомпланарны, если n ·
rot n =0. Таким образом, если n × rot n = 0 и n · rot n =0, то через
каждую точку зоны пластического течения можно провести три различ-
ных траектории (касающиеся трех некомпланарных направлений t, h, p),
вдоль которых наибольшее главное напряжение σ
3
не изменяется. Но это
означает, что ∇σ
3
= 0 всюду в пластической зоне и, следовательно, все
главные напряжения постоянны. Но тогда уравнение (1.2.8) приобретает
вид
n × rot n = n(divn), (1.4.7)
откуда сразу же следует, что ∇ · n =0и rot n = 0, что противоречит
предположению n ×rot n = 0, следовательно, никаких решений уравнения
(1.2.8) при одновременном выполнении условий n ×rot n = 0 и n ·rot n =0
получить нельзя.
Поэтому наибольший интерес представляет тот случай, когда n·rot n =
0 и rot n = 0 всюду в пластической зоне. В этом случае, который будет в де-
талях рассмотрен ниже, в каждой точке имеется два различных направле-
ния,
58
вдоль которых главное напряжение σ
3
не изменяется, причем вдоль
любого третьего направления, некомпланарного указанным двум, главное
напряжение σ
3
будет заведомо переменным. Ясно, что два направления, о
которых идет речь, касаются поверхности уровня главного напряжения σ
3
.
Как будет показано ниже, условие n · rot n =0допускает замечатель-
ную геометрическую интерпретацию, пользуясь которой можно существен-
но развить исследование невырожденных решений пространственных урав-
нений математической теории пластичности.
1.5. Уравнения обобщенного ассоциированного закона
течения на ребре призмы Кулона–Треска
Ассоциированный закон течения является фундаментальным принци-
пом математической теории пластичности и устанавливает, что в простран-
58
Поскольку ориентации векторов h и p совпадают.
Ю.Н. Радаев

Страницы