Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.3. Вырожденные решения пространственной задачи для ребра призмы Кулона–Треска53
т.е. кривизна векторной линии поля n есть проекция вектора rot n на би-
нормаль.
1.3. Вырожденные решения пространственной задачи
для ребра призмы Кулона–Треска
Исследуем уравнение (1.2.8) сначала в предположении, что выполня-
ется условие n × rot n = 0 всюду в области пластического течения. Вы-
полнение приведенного условия возможно только когда n — безвихревое
векторное поле: n = ∇f,гдеf — потенциал поля.
53
.
Воспользуемся далее формулой Гамильтона (1.2.26) для кривизны век-
торной линии единичного поля n. Ясно, что в рассматриваемом случае
κ = 0 и, следовательно, все векторные линии поля n есть прямые. Мы
называем этот случай вырожденным, подразумевая под этим как раз тот
факт, что вырожденному решению уравнений теории пластичности соот-
ветствуют прямолинейные векторные линии поля n.
Так как n — единичное векторное поле, то его потенциал должен удо-
влетворять уравнению |∇f| =1, известному как уравнение эйконала.
54
Полный интеграл этого уравнения известен, поэтому нахождение решений
этого уравнения теоретически не представляет затруднений.
Уравнение (1.2.8) при условии rot n = 0 существенно упрощается
∇σ
3
∓ 2k∆f∇f = 0 (1.3.1)
и может быть проинтегрировано, если
∇ × (∆f∇f)=(∇∆f) × ∇f = 0. (1.3.2)
В результате наибольшее (или наименьшее) главное напряжение опре-
деляется в виде:
σ
3
= ±2k
x
s
˜x
s
∆fdf. (1.3.3)
Это соотношение вместе с n = ∇f,гдеf — совместный интеграл урав-
нения эйконала |∇f| =1и уравнения (∇∆f) ×∇f = 0, представляет все
решения уравнения (1.2.8) при предположении, что n×rot n = 0.Заметим,
что полный интеграл уравнения эйконала (за вычетом аддитивной посто-
янной) f(r)=k · r,гдеk — единичный вектор, заведомо удовлетворяет
53
Доказательство этого утверждения будет дано ниже, в главе 4
54
Двумерное уравнение эйконала в математической теории пластичности обычно называется урав-
нением песчаной насыпи. Решения граничных задач для уравнения эйконала имеют характерные для
идеальной пластичности разрывы первых производных.
Ю.Н. Радаев

Страницы