Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

62
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
Доказательство формулы (1.5.6) базируется на фундаментальных соотношениях
дифференцирования собственных значений σ
1
, σ
2
, σ
3
симметричного тензора второго
ранга по самому тензору σ
∂σ
1
∂σ
= l ⊗ l,
∂σ
2
∂σ
= m ⊗ m,
∂σ
3
∂σ
= n ⊗ n. (1.5.7)
Для доказательства этих соотношений зафиксируем в пространстве декартову си-
стему координат и продифференцируем спектральное разложение тензора напряжений
σ
ij
= σ
1
l
i
l
j
+ σ
2
m
i
m
j
+ σ
3
n
i
n
j
по σ
ks
и в результате получим равенство (при дифференцировании не должна учиты-
ваться симметрия тензора напряжений, иначе необходимые частные производные будут
вычислены неправильно)
δ
ik
δ
js
=
∂σ
1
∂σ
ks
l
i
l
j
+ σ
1
l
j
∂l
i
∂σ
ks
+ σ
1
l
i
∂l
j
∂σ
ks
+ ... ,
сворачивая обе части которого сначала с l
i
, а затем с l
j
, приходим (невыписанные сла-
гаемые при этом дают нулевой вклад в силу взаимной ортогональности собственных
векторов) к
l
k
l
s
=
∂σ
1
∂σ
ks
+ σ
1
l
i
∂l
i
∂σ
ks
+ σ
1
l
j
∂l
j
∂σ
ks
.
Учитывая, что l
j
l
j
=1и поэтому
l
j
∂l
j
∂σ
ks
=0,
сразу же получаем
∂σ
1
∂σ
ks
= l
k
l
s
,
и аналогично
∂σ
2
∂σ
ks
= m
k
m
s
,
∂σ
3
∂σ
ks
= n
k
n
s
,
что и доказывает (1.5.7).
Если два собственных значения равны (скажем, σ
1
= σ
2
), а третье с ними не совпа-
дает, то частные производные
∂σ
1
∂σ
,
∂σ
2
∂σ
становятся неопределенными. Однако в силу
l ⊗ l + m ⊗ m + n ⊗ n = I
их сумма будет вполне определенной, т.к. выполняется равенство
∂σ
1
∂σ
+
∂σ
2
∂σ
= I − n ⊗ n.
Таким образом, в главных осях тензора напряжений ассоциированный
закон течения изотропного тела (1.5.1) имеет следующий вид:
dε
P
j
=
∂f
∂σ
j
dλ, (1.5.8)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы