ВУЗ:
Составители:
1.5. Уравнения обобщенного ассоциированного закона течения на ребре призмы
Кулона–Треска
63
где здесь и в дальнейшем dε
P
j
— собственные значения тензора прираще-
ний пластических деформаций dε
P
,
60
которые, вообще говоря, отличаются
от приращений собственных значений ε
P
j
тензора пластических деформа-
ций ε
P
. С учетом этого замечания спектральное разложение тензора dε
P
представляется как
dε
P
= l ⊗ ldε
P
1
+ m ⊗ mdε
P
2
+ n ⊗ ndε
P
3
.
Для анизотропного тела критерий текучести f(σ)=0связывает неко-
торой зависимостью не только главные нормальные напряжения σ
1
, σ
2
, σ
3
,
но и собственные векторы l, m, n тензора напряжений σ. Именно поэтому
представляют интерес формулы дифференцирования единичных взаимно
ортогональных собственных векторов симметричного тензора второго ран-
га по самому тензору.
61
Вычислим производные от единичных взаимно ортогональных собствен-
ных векторов l, m, n тензора напряжений σ по самому тензору напряжений
σ. Полученные формулы будут справедливы для любого симметричного
тензора второго ранга.
Для этого зафиксируем в пространстве декартову систему координат и
продифференцируем спектральное разложение тензора напряжений
σ
ij
= σ
1
l
i
l
j
+ σ
2
m
i
m
j
+ σ
3
n
i
n
j
по σ
ks
(при дифференцировании не должна учитываться симметрия тензо-
ра напряжений, иначе необходимые частные производные будут вычислены
неправильно) и в результате получим равенство
δ
ik
δ
js
=
∂σ
1
∂σ
ks
l
i
l
j
+ σ
1
l
j
∂l
i
∂σ
ks
+ σ
1
l
i
∂l
j
∂σ
ks
+ ... ,
60
Или главные приращения пластических деформаций.
61
По поводу определения производной вектора по тензорному аргументу см., например: Лурье А.И.
Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. С. 451-453. Если a = a(A) есть векторная функция от
тензорного аргумента, то частную производную
∂a
∂A
мы определяем как тензор третьего ранга
∂a
∂A
= i
l
⊗ i
j
⊗ i
s
∂a
l
∂A
js
,
где i
j
контравариантные локальные базисные векторы криволинейной системы координат в про
странстве.
Такое определение позволяет представить вариацию вектора a , отвечающую вариации тензора A,в
форме
δa =
∂a
∂A
··δA
T
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
