ВУЗ:
Составители:
1.5. Уравнения обобщенного ассоциированного закона течения на ребре призмы
Кулона–Треска
65
имеем
∂l
j
∂σ
ks
=
l
s
m
k
σ
1
− σ
2
m
j
+
l
s
n
k
σ
1
− σ
3
n
j
или
∂l
∂σ
ks
=
l
s
m
k
σ
1
− σ
2
m +
l
s
n
k
σ
1
− σ
3
n,
что в прямой тензорной записи (после тензорного умножения справа на
базисную диаду i
k
⊗i
s
, суммирования по повторяющимся индексам и сим-
метризации) дает
∂l
∂σ
=
1
σ
1
− σ
2
m ⊗ sym(m ⊗ l)+
1
σ
1
− σ
3
n ⊗ sym(n ⊗ l).
Не представляет труда получить формулы для частных производных
от оставшихся собственных векторов. Приведем окончательный результат
∂l
∂σ
=
1
σ
1
− σ
2
m ⊗ sym(m ⊗ l)+
1
σ
1
− σ
3
n ⊗ sym(n ⊗ l),
∂m
∂σ
=
1
σ
2
− σ
1
l ⊗ sym(l ⊗ m)+
1
σ
2
− σ
3
n ⊗ sym(n ⊗ m),
∂n
∂σ
=
1
σ
3
− σ
2
m ⊗ sym(m ⊗ n)+
1
σ
3
− σ
1
l ⊗ sym(l ⊗ n).
Для состояний на ребре призмы Кулона—Треска σ
1
= σ
2
= σ
3
− 2k
имеем
2k
∂n
∂σ
= m ⊗sym(m ⊗n)+l ⊗sym(l ⊗n)
или, учитывая
l ⊗ l + m ⊗ m + n ⊗ n = I,
2k
∂n
∂σ
=
1
2
(I − n ⊗ n) ⊗ n +
1
2
m ⊗ n ⊗ m +
1
2
l ⊗ n ⊗ l,
атакже
4k
∂n
∂σ
= I ⊗n −n ⊗n ⊗n + m ⊗n ⊗m + l ⊗ n ⊗ l.
Последнее уравнение в координатной записи имеет вид
4k
∂n
i
∂σ
sj
= δ
is
n
j
− n
j
n
s
n
i
+ m
i
n
s
m
j
+ l
i
n
s
l
j
.
Сворачивая обе части этого равенства с n
j
, находим
4kn
j
∂n
i
∂σ
sj
= δ
is
− n
i
n
s
,
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
