Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

74
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
учитываться симметрия тензора напряжений, иначе значения частных про-
изводных
∂τ
γ
∂σ
ij
будут вычислены неправильно.
Обобщенный ассоциированный закон течения (1.5.13) устанавливает,
что пластические деформации появляются в результате сдвига (скольже-
ния) на тех площадках, где касательные напряжения по абсолютной вели-
чине достигают предельно возможного значения, причем скольжение про-
исходит в направлении действия максимального касательного напряжения
так, что оно совершает положительную работу.
Частные производные в правой части (1.5.13) в координатной системе,
ориентированной вдоль главных осей тензора напряжений, в том случае,
когда указанная координатная система однозначно определена (т.е. когда
ни одно из главных касательных напряжений τ
γ
не равно нулю) без труда
вычисляются, если заметить, что тогда
σ =diag(σ
1
,σ
2
,σ
3
)
и, следовательно,
∂σ
l
∂σ
ij
= δ
il
δ
ij
(i, j, l =1, 2, 3; по i не суммировать). (1.5.14)
Эта формула — координатное представление основных тензорных соотно-
шений для дифференцирования собственных значений σ
1
, σ
2
, σ
3
симмет-
ричного тензора второго ранга по самому тензору σ
∂σ
1
∂σ
= l ⊗ l,
∂σ
2
∂σ
= m ⊗ m,
∂σ
3
∂σ
= n ⊗ n. (1.5.15)
В результате находим
−
∂τ
1
∂σ
33
=
∂τ
1
∂σ
22
=
1
2
,
−
∂τ
2
∂σ
11
=
∂τ
2
∂σ
33
=
1
2
,
−
∂τ
3
∂σ
22
=
∂τ
3
∂σ
11
=
1
2
.
(1.5.16)
Остальные частные производные равны нулю.
Непосредственный подсчет с помощью (1.5.13), (1.5.16) показывает, что
в главных осях напряжений матрица тензора dε
P
диагональна
dε
P
=diag(dε
1
,dε
2
,dε
3
),
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы