Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Уравнения обобщенного ассоциированного закона течения на ребре призмы
Кулона–Треска
75
т.е. ориентации главных осей напряжений и главных осей приращений де
формаций одинаковы.
В силу (1.5.15) заключаем, что в случае течения на ребре призмы Трес
ка σ
3
− σ
1
=2k, σ
3
− σ
2
=2k, когда имеет место равенство двух главных
нормальных напряжений σ
1
= σ
2
, частные производные
∂σ
1
∂σ
ij
,
∂σ
2
∂σ
ij
,
∂τ
γ
∂σ
ij
,
вычисленные в главных осях напряжений, становятся неопределенными,
ибо неопределенны ориентации векторов l, m.
Подсчет суммы главных приращений dε
P
j
на основании (1.5.13), (1.5.16)
позволяет заключить, что выполняется условие несжимаемости.
Обратимся к более детальному исследованию уравнений обобщенного
ассоциированного закона течения, предполагая, что напряженное состоя
ние соответствует ребру призмы КулонаТреска, а третье главное напря
жение является максимальным: σ
3
− σ
1
=2k, σ
3
− σ
2
=2k. Ясно, что при
этом имеет место равенство двух главных напряжений σ
1
= σ
2
. В терминах
главных касательных напряжений этот случай характеризуется выполне
нием условий τ
1
= −k, τ
2
= k, τ
3
=0.
Равенство двух главных напряжений σ
1
= σ
2
означает, что любое на
правление, расположенное в плоскости, ортогональной вектору n, является
главным. Ясно поэтому, что при соответствии напряженного состояния реб
ру призмы КулонаТреска, т.е. в состоянии полной пластичности, имеется
известная доля произвола при выборе собственных векторов l и m (они
определены с точностью до поворота в плоскости, ортогональной вектору
n). Их преимущественное положение в упомянутой плоскости указывается
ориентацией собственных векторов тензора приращений пластических де
формаций dε
P
, который в силу ассоциированного закона течения должен
быть соосен тензору напряжений σ и обладает, поскольку, вообще гово
ря, dε
1
= dε
2
, уникальным триэдром главных направлений. Следователь
но, ассоциированный закон течения, сформулированный для ребра призмы
КулонаТреска, устанавливает совпадение только одной из трех главных
осей тензора напряжений и тензора приращений пластических деформа
ций, накладывая тем самым минимум кинематических ограничений. Это
обстоятельство мы будем характеризовать термином ”1/3-соосность” тен
зоров dε
P
и σ.
Для течения на ребре призмы КулонаТреска ”1/3-соосность” тензо
ров dε
P
и σ достаточна для их соосности в том смысле, что существует
хотя бы одна тройка взаимно ортогональных направлений, которая будет
главной как для тензора dε
P
, так и для тензора σ. Действительно, тензор
dε
P
, будучи симметричным тензором второго ранга, обладает, по меньшей
Ю.Н. Радаев

Страницы