Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Уравнения обобщенного ассоциированного закона течения на ребре призмы
Кулона–Треска
77
то учитывая уравнение ребра призмы КулонаТреска τ
1
= −k, τ
2
= k,
τ
3
=0и уравнение несжимаемости, имеем
σ
1
dε
P
1
+ σ
2
dε
P
2
+ σ
3
dε
P
3
=2kdε
P
3
≥ 0,
что согласуется с (1.5.18).
Таким образом, становится ясным, что формулировка пространствен
ных уравнений теории пластичности на основе условия полной пластич
ности и обобщенного ассоциированного закона течения на ребре призмы
КулонаТреска является непосредственным обобщением уравнений Сен
Венана для плоской задачи [1], [2] со всеми особенностями, присущими
теории плоской задачи: формальная статическая определимость и гипербо
личность уравнений.
В точности такие же уравнения пространственной задачи математиче
ской теории пластичности были установлены А.Ю. Ишлинским [17] в 1946 г.
(См. также: Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. I. Механи
ка вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. С. 62-83.
Здесь на с. 80 приводится полная система уравнений для пространственной
задачи математической теории пластичности в рамках гипотезы полной
пластичности ХаараКармана.) В этой работе А.Ю. Ишлинский отказал
ся от ”неассоциированного” определяющего закона Леви [4] и дал коррект
ное обобщение теории течения Сен-Венана [1], [2] на трехмерный случай. В
явной форме он указал на необходимость при построении теории простран
ственной задачи двух условий пластичности
f
1
(σ
1
,σ
2
,σ
3
)=0,f
2
(σ
1
,σ
2
,σ
3
)=0,
в качестве которых он принял уравнения двух пересекающихся граней
призмы КулонаТреска, уравнения несжимаемости и условий соосности
тензоров dε
P
и σ, которые он принял в следующем виде:
σ
11
dε
12
+ σ
12
dε
22
+ σ
13
dε
23
= σ
21
dε
11
+ σ
22
dε
12
+ σ
23
dε
13
,
σ
21
dε
31
+ σ
22
dε
32
+ σ
23
dε
33
= σ
31
dε
21
+ σ
32
dε
22
+ σ
33
dε
23
,
σ
31
dε
11
+ σ
32
dε
12
+ σ
33
dε
13
= σ
11
dε
31
+ σ
12
dε
32
+ σ
13
dε
33
.
(1.5.19)
Три последних уравнения, по существу, выражают перестановочность
тензоров dε
P
и σ,т.е.
σ · (dε
P
)=(dε
P
) · σ.
Обосновать перестановочность двух тензоров второго ранга, если они
соосны, довольно просто: поскольку тензоры dε
P
и σ имеют, по крайней
мере, одну общую ортонормированную тройку собственных векторов, то ее
можно принять в качестве базиса, а в этом базисе матрицы рассматривае
мых тензоров диагональны
σ =diag(σ
1
,σ
2
,σ
3
),dε
P
=diag(dε
1
,dε
2
,dε
3
)
Ю.Н. Радаев

Страницы