Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

78
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
и, следовательно, перестановочны.
Справедливо и обратное утверждение: если два симметричных тензора второго ран-
га A и B перестановочны, то они соосны, т.е. имеют, по крайней мере, одну общую
тройку взаимно ортогональных главных осей. Доказательство разобьем на три случая.
Сначала предположим, что все собственные значения симметричного тензора A
различны, и то же самое предположим относительно тензора B:
111
a
1
a
2
a
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
=0,
111
b
1
b
2
b
3
b
2
1
b
2
2
b
2
3
=0.
Если k — собственный вектор тензора A,тоAk = λk, и поскольку
B · Ak = A · Bk = λBk,
Bk — собственный вектор тензора A с тем же самым собственным значением λ. В силу
одномерности собственных подпространств тензора A имеем Bk = µk, следовательно,
k — собственный вектор тензора B. Аналогичные рассуждения приводят к заключению
о том, что если s — собственный вектор тензора B,тоs — собственный вектор тензора
A. Но это означает, что тензоры A и B соосны. Остается рассмотреть случаи, когда
один из тензоров A или B (или они оба) имеет (имеют) кратные собственные значения.
Предположим, что один из тензоров A или B имеет три одинаковых собственных
значения. Тогда он пропорционален единичному тензору I, а для него любой триэдр
взаимно ортогональных направлений будет главным. И в этом случае тензоры A и B
оказываются соосными.
Наконец предположим, что один из тензоров (скажем, тензор A) имеет ровно два
одинаковых собственных значения a
1
= a
2
= a
3
. Наличие или отсутствие кратных соб-
ственных значений у тензора B в дальнейших рассуждениях несущественно. Тройку
взаимно ортогональных собственных векторов тензора A обозначим через k
j
. Вектор
k
3
будет также и собственным вектором тензора B (см. первый случай). Два других
собственных вектора тензора B будут располагаться в плоскости, ортогональной векто-
ру k
3
. В плоскости, ортогональной вектору k
3
, любое направление будет главным для
тензора A, поэтому вектор k
1
всегда можно повернуть в указанной плоскости так, что-
бы он стал также и собственным вектором тензора B. Остается построить вектор k
2
,
ортогонально векторам k
1
и k
3
, чтобы указать общую тройку взаимно ортогональных
главных осей тензоров A и B. Доказательство, тем самым, завершается.
В декартовой системе координат перестановочность тензоров dε
P
и σ
приводит к соотношениям
σ
il
dε
P
lj
= σ
lj
dε
P
il
, (1.5.20)
которые при i =1, j =2; i =2, j =3; i =3, j =1дают соотношения
соосности Ишлинского.
По причинам, рассмотренным выше, соотношения соосности Ишлинско-
го можно назвать также соотношениями перестановочности.
Соотношения перестановочности Ишлинского в качестве следствия при-
водят к симметрии тензора σ·dε
P
.
68
Действительно, из симметрии каждого
68
Это обстоятельство впервые было установлено в работе: Радаев Ю.Н. О соотношениях перестано
вочности Ишлинского в математической теории пластичности// Вестник Самарского гос. университе
та. Естественнонаучная серия. №6(56). 2007. С. 102-114.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы