Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

82
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
Если тензор напряжений σ соответствует ребру призмы КулонаТреска и
задан, то ориентация вектора n известна, а ориентации векторов l и m
неопределенны до тех пор, пока не определено поле скоростей. Поэтому
далее в кинематических уравнениях мы задействуем лишь вектор n,что
полностью отвечает условию ”1/3-соосности” тензоров dε
P
и σ.
71
Соотношение (1.6.4) позволяет заключить, что
n · dε
P
= ndε
P
3
,
или также
n · dε
P
· n = dε
P
3
и кроме того (см. [11], с. 208)
n · dε
P
= ntr((n ⊗ n) · dε
P
). (1.6.5)
Полученное уравнение устанавливает лишь только тот факт, что век
тор n собственный вектор тензора dε
P
. Проектируя векторное уравне
ние (1.6.5) на оси некоторой прямоугольной системы координат x
1
, x
2
, x
3
,
можно получить три скалярных уравнения
72
n
j
dε
P
ij
= n
i
n
k
n
l
dε
P
kl
. (1.6.6)
Только два из них будут независимыми. Действительно, свернутые с n
i
соотношения (1.6.6) удовлетворяются тождественно, что указывает на их
линейную зависимость.
Два независимых уравнения из (1.6.6) вместе с уравнением несжимае
мости (1.6.2) образуют систему из трех независимых уравнений
dε
P
jj
=0,
n
j
dε
P
ij
= n
i
n
k
n
l
dε
P
kl
,
(1.6.7)
которые после подстановки в них вместо приращений пластических дефор
маций трех приращений перемещений согласно
2dε =(∇ ⊗ du)+(∇ ⊗ du)
T
(1.6.8)
или, переходя к прямоугольной системе координат x
1
, x
2
, x
3
,
2dε
P
ij
= ∂
i
(du
j
)+∂
j
(du
i
),
71
Как было отмечено выше, для течения на ребре призмы КулонаТреска ”1/3-соосность” тензо
ров dε
P
и σ достаточна для их соосности, понимаемой в том смысле, что существует хотя бы одна
тройка взаимно ортогональных направлений, которая будет главной как для тензора dε
P
, так и для
тензора σ. Ясно также, что в случае течения на ребре призмы КулонаТреска ”1/3-соосность” тензо
ров dε
P
и σ влечет их перестановочность, фиксируемую посредством соотношений перестановочности
А.Ю. Ишлинского (1.5.19).
72
См. также: Быковцев Г.И. Избранные проблемные вопросы механики деформируемых сред: Сбор
ник статей. Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 153.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы