ВУЗ:
Составители:
1.7. Кинематика пространственного идеально пластического течения на поверхностях
скольжения
91
шение Коши и условие несжимаемости:
2dε = ∇ ⊗ du +(∇ ⊗ du)
T
, (1.7.5)
tr(dε)=0. (1.7.6)
Введем на поверхности скольжения Гауссовы координаты τ
1
, τ
2
. Обо-
значим через i
α
ковариантные локальные базисные векторы, соответствую-
щие параметризации τ
1
, τ
2
. Разложим тензор ∇ ⊗du на рассматриваемой
поверхности, используя триэдр i
1
, i
2
, N:
∇ ⊗ du = N ⊗ (N · ∇)du + a
αβ
i
α
⊗
∂du
∂τ
β
, (1.7.7)
где a
αβ
— компоненты фундаментального тензора поверхности. В справед-
ливости этого соотношения нетрудно убедиться, производя внутреннее умно-
жение слева на векторы i
1
, i
2
, N.
В общем случае, если f есть некоторая функция, b — пространственное вектор-
ное поле, то для пространственных дифференциальных операторов можно получить
следующие представления на поверхности:
∇f =((ν · ∇)f)ν + a
αβ
i
α
∂f
∂τ
β
,
∇♦b = ν♦(ν ·∇)b + a
αβ
i
α
♦
∂b
∂τ
β
,
(1.7.8)
где ∇ — пространственный оператор Гамильтона, τ
β
— Гауссовы координаты на поверх-
ности, i
α
— ковариантные локальные базисные векторы на указанной поверхности, a
αβ
—
компоненты фундаментального тензора поверхности, ν — единичный вектор нормали к
поверхности, символ ♦ указывает один из операторов ·, ×, ⊗. Доказательство (1.7.8)
проводится внутренним умножением слева на базисные орты i
1
, i
2
, ν.
В частности, для дивергенции и ротора пространственного векторного поля b имеем
следующие формулы:
∇ · b = ν · (ν · ∇)b + a
αβ
i
α
·
∂b
∂τ
β
,
∇ × b = ν × (ν · ∇)b + a
αβ
i
α
×
∂b
∂τ
β
.
(1.7.9)
В дальнейшем удобно определить также поверхностный оператор Гамильтона как
surf(∇)=i
α
∂
∂τ
α
. (1.7.10)
Ясно, что такого рода представления позволяют естественно ввести понятия по-
верхностной дивергенции и поверхностного ротора пространственного векторного поля
b соответственно как
surf(∇) ·b = a
αβ
i
α
·
∂b
∂τ
β
,
surf(∇) ×b = a
αβ
i
α
×
∂b
∂τ
β
.
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
