Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

92
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
Для вычисления поверхностной дивергенции пространственного векторного поля
b = Cν + b
α
i
α
можно использовать формулу
surf(∇) ·b = a
αβ
i
α
·
∂b
∂τ
β
=
1
√
a
∂
∂τ
α
(
√
ab
α
)+2CH,
где H — средняя кривизна поверхности.
Для поверхностного векторного поля b (т.е. когда вектор b всюду касается поверх-
ности) для поверхностной дивергенции можно получить
surf(∇) · b = a
αβ
i
α
·
∂b
∂τ
β
=
1
√
a
∂
∂τ
α
(
√
ab
α
),
а для проекции поверхностного ротора на нормальный вектор ν —
ν · (surf(∇) × b)=ν ·
a
αβ
i
α
×
∂b
∂τ
β
=
1
√
a
∂b
2
∂τ
1
−
∂b
1
∂τ
2
.
Опираясь на условие несжимаемости и (1.7.5), (1.7.7), заключаем, что
N ·(N · ∇)du = −a
αβ
i
α
·
∂du
∂τ
β
. (1.7.11)
Умножая (1.7.5) слева на N и учитывая (1.7.7)и(1.7.11), находим
(N ·∇)du =2N ·dε + a
αβ

i
α
·
∂du
∂τ
β
N −i
β
N ·
∂du
∂τ
α

. (1.7.12)
Умножая тензорно обе части полученного уравнения справа и слева на
вектор N, складывая и используя (1.7.3),
N ⊗(N · ∇)du = ∇ ⊗ du − a
αβ
i
α
⊗
∂du
∂τ
β
,
атакже(1.7.5), приходим к
2a
αβ
∂du
∂τ
α
· i
β
N ⊗N + a
αβ
∂du
∂τ
α
⊗ i
β
+ i
β
⊗
∂du
∂τ
α
=
= a
αβ
N ·
∂du
∂τ
α
(i
β
⊗ N + N ⊗ i
β
).
(1.7.13)
Переходя в этом уравнению к следу, имеем
a
αβ
∂du
∂τ
α
· i
β
=0,
что позволяет несколько упростить уравнение (1.7.13)
a
αβ
∂du
∂τ
α
⊗ i
β
+ i
β
⊗
∂du
∂τ
α
= a
αβ
N ·
∂du
∂τ
α
(i
β
⊗ N + N ⊗ i
β
). (1.7.14)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы