Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

96
Глава 1. Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы
Кулона–Треска
или
(2H
1
+ a
11
b
11
)(Hν
1
+ a
22
b
12
ν
2
)ν
1
= a
22
b
11
(Hν
2
+ a
11
b
12
ν
1
)ν
2
,
принимает наиболее простую форму
b
22
ν
2
1
+ b
11
ν
2
2
=0,
когда криволинейная сетка на поверхности совпадает с сеткой линий кри-
визны (в этом случае a
12
=0, b
12
=0, −b
11
/a
11
= κ
1
, −b
22
/a
22
= κ
2
). Пере-
ходя в последнем уравнении к физическим компонентам ν
<1>
, ν
<2>
относи-
тельно локального базиса сетки линий кривизны согласно ν
1
=
√
a
11
ν
<1>
,
ν
2
=
√
a
22
ν
<2>
, получим
κ
2
ν
2
<1>
+ κ
1
ν
2
<2>
=0,ν
2
<1>
+ ν
2
<2>
=1,
откуда следует, что система уравнений (1.7.20) гиперболична, только если
главные кривизны поверхности имеют разные знаки. Из этого же уравне-
ния на основании формулы Эйлера для нормальной кривизны кривой на
поверхности, составляющей угол ω с первой линией кривизны,
κ
n
= κ
1
cos
2
ω + κ
2
sin
2
ω
заключаем, что нормальная кривизна характеристик системы уравнений
(1.7.20) равна нулю, т.е. характеристики есть асимптотические линии по-
верхности максимальной скорости сдвига. Этот факт сразу же позволяет
сделать вывод о том, что пластическое течение вблизи поверхности макси-
мальной скорости сдвига (отрицательной Гауссовой кривизны) реализуется
как результат микроскольжений в асимптотических направлениях. Поэто-
му результатом такого рода необратимого деформирования должны быть
мозаичные узоры, составленные из отрезков линий микроскольжения, ори-
ентированных в асимптотических направлениях. Даже локально поверх-
ность отрицательной Гауссовой кривизны имеет довольно сложную форму.
Любая окрестность точки поверхности отрицательной Гауссовой кривизны
имеет седлообразную форму и делится асимптотическими направлениями
на четыре части, причем две из них являются вогнутыми и две выпуклыми.
Предположим, что Гауссова кривизна поверхности максимальной ско-
рости сдвига K отрицательна. Выберем параметризацию поверхности мак-
симальной скорости сдвига так, чтобы координатные линии τ
1
= const,
τ
2
= const были асимптотическими линиями. Поскольку в этом случае
b
11
=0,b
22
=0,K= −
b
2
12
a
,H=
a
12
b
12
a
, −
H
K
=
a
12
b
12
,
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы