Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
ТЕМА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННОГО
РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решение многих задач, требующих анализа нестационарных режимов
линейных и нелинейных схем, основано на применении методов численного
решения дифференциальных уравнений. Эти методы являются частью
алгоритмов и программ расчета переходных процессов в нелинейных цепях
методом переменных состояния. Простейшие задачи этого класса: анализ
отклика дифференцирующих и интегрирующих цепочек , цепей с заданной
переходной характеристикой на сигнал данной формы, расчет процессов в
цепях с переменными параметрами.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения )y,x(f
dx
dy
=
заключается в определении вида зависимости y(x) при известных начальных
условиях x = x
0
, y = y
0
.
Различные методы численного решения дифференциальных уравнений
[I – 5,13-20] можно условно разделить на одноступенчатые (одношаговые) и
многоступенчатые (многошаговые). Одноступенчатые методы используют
информацию о самой кривой y(x) в одной точке (значение y(x) в данной
точке x
i+1
: y
i+1
, i = 1,2,… определяется только величиной y(x) в предыдущей
точке х
i
, y
i
). К этим методам относятся методы Рунге - Кутта различного
порядка. Многошаговые методы (методы прогноза и коррекции или
предиктор-корректор) основаны на использовании интерполяции и
экстраполяции (конечно-разностные методы). Они требуют для нахождения
y
i+1
знания нескольких значений y
i
y
i-1
… y
i-k
в зависимости oт порядка
метода. Согласно этим методам на основе решения уравнения в
предшествующих точках определяется (прогнозируется) его решение на
данном шаге , в простейшем случае (формула Эйлера) можно использовать
знание только одного предыдущего значения y
i
, y
′
i
.
Приведем некоторые из наиболее распространенных формул для
решения обыкновенных дифференциальных уравнений [19] с указанием
порядка погрешности (O(h
k
)).
Формулы Рунге - Кутта (Р. -К.)
1. Формула Эйлера (Р. -К. первого порядка)
y
i+1
= y
i
+h f(x
i
, y
i
) + O(h
2
)
(h = x
i+1
- x
i
, i = 1,2,… n-1).
2. Модифицированный метод Эйлера (Р. -К. второго порядка)
а) y
i+1
= y
i
+ k
2
- O(h
3
), k
1
= h f(x
i
,y
i
), k
2
= h f(x
i
+ h/2, y
i
+ k
1
/2),
б) y
i+1
= y
i
+ 0.5(k
1
+ k
2
) + O(h
3
), k
1
= h f(x
i
,y
i
), k
2
= h f(x
i
+ h, y
i
+ k
1
). 
                                             26

Т Е М А 3. М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е С И СП О ЛЬ ЗО В А Н И Е М ЧИ СЛЕ Н Н О ГО
         РЕ Ш Е Н И Я Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А ЛЬ Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й

       Реш ение м ногих зад ач, т ребую щ их анализа нес т ационарных режимов
линейных и нелинейных с х ем, ос новано на примене нии мет од ов чис ленного
реш ения д иф ф еренциаль ных уравнений. Э т и мет од ы являю т с я час т ь ю
алгорит мов и программ рас чет а перех од ных процес с ов в нелинейных цепях
мет од ом переменных с ос т ояния. Прос т ейш ие зад ачи эт ого к лас с а: анализ
от к лик а д иф ф еренцирую щ их и инт егрирую щ их цепочек , цепей с зад анной
перех од ной х арак т ерис т ик ой на с игнал д анной ф ормы, рас чет процес с ов в
цепях с переменными парамет рами.
                                                                      dy
       Реш ение обык нове нного д иф ф еренциаль ного уравнения           = f (x, y )
                                                                      dx
зак лю чает с я в опред елении вид а завис имос т и y(x) при извес т ных началь ных
ус ловиях x = x0 , y = y0 .
       Различные мет од ы чис ленного реш ения д иф ф еренциаль ных уравнений
[I – 5,13-20] можно ус ловно разд елит ь на од нос т упенчат ые (од нош аговые) и
многос т упенчат ые (многош аговые). О д нос т упенчат ые мет од ы ис поль зую т
инф ормацию о с амой к ривой y(x) в од ной т очк е (значение y(x) в д анной
т очк е xi+1: yi+1 , i = 1,2,… опред еляет с я т оль к о величиной y(x) в пред ыд ущ ей
т очк е х i, yi). К эт им мет од ам от нос ят с я мет од ы Рунге - Кут т а различного
поряд к а.          М ногош аговые мет од ы (мет од ы прогноза и к оррек ции или
пред ик т ор-к оррек т ор) ос нованы на ис поль зовании инт ерполяции и
эк с т раполяции (к онечно-разнос т ные мет од ы). О ни т ребую т д ля нах ожд е ния
yi+1 знания нес к оль к их значений yi yi-1 … yi-k в завис имос т и oт поряд к а
мет од а. Соглас но эт им мет од ам на ос нове реш ения уравнения в
пред ш ес т вую щ их т очк ах опред еляет с я (прогнозирует с я) его реш ение на
д анном ш аге, в прос т ейш ем с лучае (ф ормула Э йлера) можно ис поль зоват ь
знание т оль к о од ного пред ыд ущ его значения yi , y′i .
       Привед ем нек от орые из наиболее рас прос т раненных ф ормул д ля
реш ения обык новенных д иф ф еренциаль ных уравнений [19] с ук азанием
поряд к а погреш нос т и (O(hk )).

                             Ф ормулы Рунге-Кут т а (Р. -К.)

   1. Ф ормула Э йлера (Р. -К. первого поряд к а)

   yi+1 = yi +h f(xi, yi) + O(h2)
   (h = xi+1 - xi , i = 1,2,… n-1).

2. М од иф ицированный мет од Э йлера (Р. -К. вт орого поряд к а)
                       3
а) yi+1 = yi + k2 - O(h ),     k1 = h f(xi,yi),   k2 = h f(xi + h/2, yi + k1 /2),
                                      3
б) yi+1 = yi + 0.5(k1 + k2 ) + O(h ),      k1 = h f(xi ,yi),   k2 = h f(xi + h, yi + k1).

Страницы