Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
3. Формула Рунге - Кутта третьего порядка
y
i+1
= y
i
+ (k
1
+ 4k
2
+ k
3
) / 6+ O(h
4
),
k
1
= h f(x
i
,y
i
), k
2
= h f(x
i
+ h/2, y
i
+ k
1
/2), k
3
= h f(x
i
+ h, y
i
- k
1
+ 2 k
2
).
4. Формула Рунге - Кутта четвертого порядка
y
i+1
= y
i
+ (k
1
+ 2k
2
+ 2k
3
+ k
4
) / 6+ O(h
5
),
k
1
= h f(x
i
,y
i
), k
2
= h f(x
i
+ h/2, y
i
+ k
1
/2), k
3
= h f(x
i
+ h/2, y
i
+ k
2
/2),
k
4
= h f(x
i
+ h, y
i
+ k
3
).
Формулы типа прогноз–коррекция
5. Прогноз второго порядка
y
(0)
i+1
= y
i-1
+2h f(x
i
,y
i
) + O(h
3
)
а) Коррекция по формуле трапеций
y
(1)
i+1
= y
i
+h [f(x
i
,y
i
) + f(x
i+1
,y
(0)
i+1
)] / 2.
б) Коррекция с итерациями
y
(j)
i+1
= y
i
+h [f(x
i
,y
i
) + f(x
i+1
,y
(j-1)
i+1
)] / 2.
(Прогноз по формуле Эйлера y
i+1
= y
i
+h f(x
i
,y
i
) дает меньшую точность,
чем формула пункта 5).
6. Экстраполяционная формула Адамса четвертого порядка
y
i+1
= y
i
+ h [55y
i
′ +59 y′
i-1
+37y′
i-2
- 9 y′
i-3
] / 24 + O(h
5
)
,
y
i
′ = f(x
i
,y
i
)
7. Формула Милна
Прогноз
y
(0)
i+1
= y
i-3
+ 4h [2y
i
′ + y′
i-1
+ 2y′
i-2
] / 3 + O(h
5
)
.
Коррекция
y
(1)
i+1
= y
i-1
+ h [4y
i
′ + y′
i-1
+ f(x
i+1
,y
(0)
i+1
)] / 3 + O(h
5
)
Особенностью формул типа прогноз-коррекция является то, что
несколько начальных значений y
i
необходимо вычислять другими методами
(например, методом Рунге - Кутта). Достоинство методов - сокращение
времени счета (по сравнению с методами Р.-К.) вследствие уменьшения
числа обращений к вычислению f(x,y). Недостаток - возможная
неустойчивость (из приведенных формул наибольшей устойчивостью
обладает формула Адамса). Достоинством метода Рунге - Кутта является
возможность начинать интегрирование и легко изменять его шаг.
Решение дифференциальных уравнений с использованием
приведенных формул иллюстрирует документ , составленный в системе
MathCAD-2001, на рис .3.1- 3.2. Иллюстрация проведена на примере метода
Эйлера, модифицированного метода Эйлера и метода Рунге - Кутта четвертого
порядка (РК 4). Методы реализуются с использованием индексированных
переменных и программных средств (метод Эйлера). Для сравнения
приведено точное решение уравнения yt. 
                                                27


3. Ф ормула Рунге-Кут т а т рет ь его поряд к а
                                     4
yi+1 = yi + (k1 + 4k2 + k3 ) / 6+ O(h ),
k1 = h f(xi,yi), k2 = h f(xi + h/2, yi + k1/2), k3 = h f(xi + h, yi - k1 + 2 k2).

4. Ф ормула Рунге-Кут т а чет верт ого поряд к а
                                           5
yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k 3 + k4) / 6+ O(h ),
k1 = h f(xi,yi), k2 = h f(xi + h/2, yi + k1/2), k3 = h f(xi + h/2, yi + k 2/2),
k4 = h f(xi + h, yi + k3 ).

                         Ф ормулы т ипа прогноз–к оррек ция
5. Прогноз вт орого поряд к а
   y(0)i+1 = yi-1 +2h f(xi ,yi) + O(h3 )

а) Коррек ция по ф ормуле т рапеций
   y(1)i+1 = yi +h [f(xi ,yi) + f(xi+1 ,y(0)i+1)] / 2.

б) Коррек ция с ит ерациям и
   y(j) i+1 = yi +h [f(xi ,y i) + f(xi+1 ,y(j-1)i+1 )] / 2.
(Прогноз по ф ормуле Э йлера yi+1 = yi +h f(x i ,yi) д ает мень ш ую т очнос т ь ,
чем ф ормула пунк т а 5).

6. Э к с т раполяционная ф ормула А д амс а чет верт ого поряд к а
yi+1 = yi + h [55yi′ +59 y′i-1 +37y′i-2 - 9 y′i-3 ] / 24 + O(h5 ), yi′ = f(xi,yi)
7. Ф ормула М илна
Прогноз
y(0)i+1 = yi-3 + 4h [2yi′ + y′i-1 + 2y′i-2] / 3 + O(h5 ).
Коррек ция
y(1)i+1 = yi-1 + h [4yi′ + y′i-1 + f(xi+1 ,y(0)i+1 )] / 3 + O(h5)
       О с обеннос т ь ю ф орм ул т ипа прогноз-к оррек ция являет с я т о, чт о
нес к оль к о началь ных значений yi необх од имо вычис лят ь д ругим и мет од ами
(например, мет од ом Рунге-Кут т а). Д ос т оинс т во мет од ов - с ок ращ ение
времени с чет а (по с равнению с мет од ами Р.-К.) вс лед с т вие умень ш е ния
чис ла обращ ений к вычис лению                        f(x,y). Н ед ос т ат ок - возможная
неус т ойчивос т ь (из привед енных ф ормул наиболь ш ей ус т ойчивос т ь ю
облад ает ф ормула А д амс а). Д ос т оинс т вом мет од а Рунге-Кут т а являет с я
возможнос т ь начинат ь инт егрирование и легк о изменят ь его ш аг.

     Реш ен ие диф ферен циал ьн ы х        урав н ен ий   с    ис поль зованием
привед енных ф ормул иллю с т рирует д ок умент , с ос т авленный в системе
MathCAD-2001, на рис .3.1- 3.2. Иллю с т рация провед ена на примере мет од а
Э йлера, мод иф ицированного мет од а Э йлера и мет од а Рунге-Кут т а чет верт ого
поряд к а (РК4). М ет од ы реализую т с я с ис поль зованием инд ек с ированных
переменных и программных с ред с т в (мет од Э йлера). Д ля с равне ния
привед ено т очное реш ение уравне ния yt.

Страницы