Логика. Радько О.Ю. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

BAABDCDBCDADCCABDCCCA ∨∨∨=∨∨∨∨∨∨ ))((
.
Используем для доказательства метод приведения левой части фрмулы к правой:
1)
ABCABDCCABDCCCA ∨≡∨∨≡∨∨∨
;
2)
;DCBA
DBCDCADBCDADCDBCDADCC
∨∨∨≡
≡∨∨∨≡∨∨∨≡∨∨∨
3)
ABBCACDCDCBAABC ∨∨∨≡∨∨∨∨ ))((
;
4) ABBCACDC ∨∨∨ ≠ BAABDC ∨∨∨ .
Так как левая часть в результате равносильных преобразований не эквивалентна правой, можно сделать
вывод о том, что данная формула не является равносильностью алгебры высказываний.
з) Найдите отрицание приведённого сложного высказывания.
Если урок будет интересным, никто из мальчиков – Петя, Ваня, Коля – не будет смотреть в окно.
Ответ:
Введём обозначения для простых суждений, входящих в состав приведённого сложного суждения и вос-
пользуемся общим правилом отрицания сложных суждений. Пусть П – суждение «Петя посмотрит в окно», В –
суждение «Ваня посмотрит в окно», К – суждение «Коля посмотрит в окно», И – суждение «Урок будет инте-
ресным». Тогда, формализуя исходное сложное суждение и учитывая, что нужно найти его отрицание, получим
¬(И → ¬П¬В¬К) ↔ И * (П + В + Л).
Следовательно, отрицание исходного сложного суждения можно сформулировать в виде: «Урок будет
интересным
, но хотя бы один их мальчиков (Петя, Ваня, Коля) будет смотреть в окно».
и) В коробке лежат шары – деревянные и пластмассовые, большие и маленькие, зелёные и крас-
ные. Из коробки надо достать шар, соблюдая следующие правила:
1. Шар может быть деревянным только тогда, когда он маленький и зелёный.
2. Если шар маленький, то для того, чтобы он был пластмассовым, достаточно, чтобы он не был
зелёным.
3. Если шар маленький и красный, то он деревянный.
Известно, что эти правила сводятся к двум простейшим условиям. Когда же вынули шар, оказалось,
что из двух простейших условий выполнено только одно. Кроме того, о вынутом шаре известно, что он
либо зелёный, либо большой и деревянный. Какой шар вынули из коробки?
Ответ:
Для решения данной задачи необходимо формализовать её условие, введя соответствующие обозначения
для простых суждений составе сложных условий 1 – 3. Так как в задаче говорится о минимизации простейших
условий, значит, необходимо результат получить в виде совершенной нормальной конъюнктивной формы
(СКНФ-формы). Введём следующие обозначения: Д – суждение «шар деревянный», М – суждение «шар ма-
ленький», З – суждение «шар зелёный», ¬Д – суждение «шар пластмассовый», ¬З – суждение «шар красный».
Тогда формализованное условие задачи можно записать в виде:
1. Д
↔ МЗ.
2. М
→ (¬З → ¬Д).
3. М¬З
→ Д.
Дополнительное условие – ЗМ¬Д + ¬З¬МД. Кроме того, известно, что из двух простейших условий вы-
полнено только одно. Получим эти простейшие условия. Для этого упростим формулы 1 – 3, перейдя от опера-
ций импликации и эквивалентности к операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания на основании извест-
ных равносильностей алгебры высказываний, и рассмотрим их конъюнкцию.
1. Д
→ МЗ ↔ (¬Д + МЗ).
2. М
→ (¬З → ¬Д) ↔ ¬М + З + ¬Д.
3. М¬З
→ Д ↔ ¬М + З + Д.
(¬Д + МЗ)(¬М + З + ¬Д)(¬М + З + Д) ↔
↔ (¬Д¬З + ¬ДЗ + ЗМ + ¬ДМЗ)(¬М + З + Д) ↔
↔ (¬Д¬З + ¬ДЗ + ЗМ)(¬М + З + Д) ↔ (¬Д + ЗМ)(¬М + З + Д) ↔
↔ ¬Д¬М + ЗМ + ДЗМ ↔ ¬Д¬М + ЗМ ↔ (¬Д + З)(¬М + З) –
к этому выражению сводятся три первых условия задачи.
Учитывая дополнительное условие, получим
(¬Д + З)(¬М + З)(ЗМ¬Д + ¬З¬МД) ↔ ¬ДЗМ(¬М + З) ↔ ¬ДЗМ.

Страницы