Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

11
Вариант 4
Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
1. Определить сходимость числового ряда
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
2=n
1
3
)1(
2
2
n
n
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
1=n
!3
)2(
n
n
n
n
n
n
2
1=n
1
14
)3(
∑
∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
1=n
2
sin! )4(
n
n
π
∑
∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅−
+
1=n
1
2
)1( )5(
1
n
n
n
2. Найти область сходимости функционального ряда:
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
1=n
2
)2(
)1(
nn
n
x
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
−
−
1=n
2
1
)1(
)2(
n
n
n
x
n
3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)
2=)(
2
x
xf
(2)
3
=)(
x
x
xf
e
по степеням
)(x
Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
ного»
1. Вычислить и записать в алгебраической форме
(
)
.
1
21
3112
3
i
i
ii
i
−
+
+
+
−
.
2. Решить уравнение:
()
.0239
2
=+−+−− yixixi
3. Вычислить и записать в тригонометрической форме
,27
3
iz −=
4. Изобразить область, ограниченную линиями:
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−>
≤
<⋅
≤−
1Im
1Re
2
4Im
2
2
z
z
zz
zza б) ,
5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
()
.3;
32
yyyxyxU −−= .
6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
замкнутому контуру:
)
() ()()
∫∫∫
=+==−
−−−−
+−
+
+
121 32
2
2
6
35
3
.
2422
,
134
,
2
)1(
zz iz
iziz
dzz
dz
z
zz
zz
dzz
a в) б) 
                                                            Вариант 4
           Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
                                                                                          ∞ ⎡ 3n 2 ⎤                        ∞ ⎡ 3 n ⋅ n!⎤
1. Определить сходимость                                  числового ряда              (1) ∑ ⎢            ⎥            ( 2) ∑ ⎢          ⎥
                                                                                         n = 2 ⎢⎣1− n 2 ⎥⎦                 n =1 ⎢⎣ n ⎥⎦

          ∞ ⎡ 4n +1⎤ 2n               ∞ ⎡        ⎛π           ⎞⎤      ∞
     (3) ∑ ⎢                     (4) ∑ ⎢n!⋅ sin ⎜⎜            ⎟⎥ (5) ∑ ⎡(−1) n +1 ⋅⎛⎜ 2n ⎞⎟⎤
                     ⎥                                        ⎟           ⎢                 ⎥
         n =1 ⎣ n +1 ⎦               n =1 ⎢⎣     ⎝ 2n         ⎠⎥⎦    n =1 ⎣         ⎝ n +1 ⎠⎦

                                                                                                                    ∞ ⎡ ( x + 2) n ⎤
2. Найти область сходимости функционального ряда:                                                              (1) ∑ ⎢              ⎥
                                                                                                                   n =1 ⎢⎣ n 2 − n ⎥⎦

           ∞ ⎡ (−1) n −1 ⋅ x n ⎤
     ( 2) ∑ ⎢                  ⎥
          n =1 ⎢⎣ n⋅2 n        ⎥⎦


3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1) f ( x) = 2 x
                                                                                                           2
                                                                                                                    (2)                e3 x
                                                                                                                            f ( x) =
                                                                                                                                           x

     по степеням               ( x)

Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
                                                                  ного»

1. Вычислить и записать в алгебраической форме (i − 1)
                                                      3
                                                                                                                   2+i .
                                                                                                               +        .
                                                                                            i   12
                                                                                                     +i   31       1− i

2. Решить уравнение: − 9 − xi + 3xi(2 − i ) + y 2 = 0.

3. Вычислить и записать в тригонометрической форме z 3 = −27i,
4. Изобразить                                  область,                       ограниченную                                       линиями:
                                                  ⎧z ⋅ z < 2
              a ) z − Im z
                      2
                                 ( )  2           ⎪
                                          ≤ 4, б) ⎨Re z ≤ 1
                                                  ⎪Im z > −1
                                                  ⎩

5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
              U ( x; y ) = 3x 2 y − y 3 − y. .

6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
     замкнутому контуру:
             ( z + 1)dz                                4 z 5 − 3z 3 + 1                                         z 2 dz
a)     ∫                   ,              б)    ∫                         dz, в)      ∫                                                .
     z + 2 =1
              (z + 2)3 z                        z =1
                                                             z6                    z − 2i =3
                                                                                             (z − 2 − 2i )2 (z − 4 − 2i )


                                                                    11

Страницы