Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 9 стр.

                                                         Вариант 3
            Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
                                                                                          ∞ ⎡ 1 ⎤                   ∞ ⎡ 4n ⋅n! ⎤
1. Определить сходимость                               числового ряда              (1)    ∑ ⎢      ⎥        ( 2)    ∑ ⎢        ⎥
                                                                                         n=1 ⎣ n+1 ⎦               n=1 ⎢⎣ nn ⎥⎦


          ∞ ⎡ 2n +1⎤ n                                         ∞ ⎡           ⎛ n ⎞ ⎤⎥
                                          ∞                                            n
     (3) ∑ ⎢                                     n
                      ⎥           ( 4)    ∑               (5) ∑ ⎢( −1) n +1 ⋅⎜       ⎟
         n =1 ⎣ 3n +1 ⎦                         4
                                         n = 1 n +1           n =1 ⎢⎣        ⎝ 2n +1 ⎠ ⎥⎦

                                                                                                          ∞ ⎡ ( x − 3) n ⎤
2. Найти область сходимости функционального ряда:                                                    (1) ∑ ⎢              ⎥
                                                                                                         n =1 ⎢⎣ n 2 + n ⎥⎦

           ∞ ⎡ (−1) n −1 ⋅ x n ⎤
     ( 2) ∑ ⎢                  ⎥
               ⎢
          n =1 ⎣    2 n        ⎥⎦


3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)                                           f ( x) = e 4 x    (2)                ln(1 + x3 )
                                                                                                              f ( x) =
                                                                                                                            3x

     по степеням            (x)

Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
                                                             ного»
                                                                                           2i 5                   3−i
1. Вычислить и записать в алгебраической форме                                                     + (1 + i ) +        ..
                                                                                         1+ i 11                  1+ i

2. Решить уравнение: x + 2 y (i − 1) + 5 xy = 6.

3. Вычислить и записать в тригонометрической форме z 3 = 27
4. Изобразить                              область,                          ограниченную                                линиями:
                                       ⎧1 < z ⋅ z < 2
                                       ⎪
              a)    z + i = z + 4 , б) ⎨Re z > 0
                                       ⎪0 ≤ Im z ≤ 1
                                       ⎩

5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
                V ( x; y ) = x 2 − y 2 + 2 x + 1. .

6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
     замкнутому контуру:

a)
                   2 zdz
                                          б)
                                                      z 3 − 3z 2 + 1                             (1 + z )dz
        ∫                         ,            ∫                       dz,    в)       ∫ (z + 1 − 2i )2 (z + 3 − 2i ) .
     z + 2 =2 ( z + 1) ( z − 1)
                      3
                                               z =1
                                                          2z 4                     z − 2i = 2



                                                                 9