Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 7 стр.

                              Вариант 2
           Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
                                                                                        ⎡     n2      ⎤
1. Определить сходимость                          числового ряда                   ∞ ⎢⎛    1⎞
                                                                               (1) ∑ ⎢⎜1 + ⎟     ⋅
                                                                                                    1 ⎥
                                                                                                      ⎥
                                                                                  n = 1 ⎢⎝ n⎠      4n ⎥
                                                                                        ⎣             ⎦

       ∞ ⎡ n ⎤                   ∞ ⎡       ⎛ 2 ⎞⎤              ∞ ⎡ n −1 ⎤                ∞ ⎡ (−1) n + 1 ⋅ ( 2n + 1) ⎤
   (2) ∑ ⎢           ⎥      (3) ∑ ⎢n ⋅sin ⎜⎜ ⎟⎟⎥         ( 4) ∑ ⎢                  ⎥ (5) ∑ ⎢                        ⎥
      n = 1 ⎣ 5n + 6 ⎦          n =1 ⎣⎢    ⎝ n 3 ⎠⎦⎥          n =1 ⎢⎣ 3 n ⋅(n −1)!⎥⎦    n = 1 ⎢⎣  n ⋅ ( n + 1)      ⎥⎦

                                                                                                       ∞ ⎡ n1 / 3 ⎤
2. Найти область сходимости функционального ряда:                                                 (1) ∑ ⎢          ⎥
                                                                                                      n =1 ⎢⎣ x n ⎥⎦

        ∞ ⎡ ( −1) n ⋅( x − 3) n ⎤
   ( 2) ∑ ⎢                     ⎥
       n =1 ⎢⎣ (n +1)⋅5n ⎥⎦

3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)                                       f ( x ) = x 2 arctg ( x )   (2)
    f ( x ) = sin( 5 x ) по степеням (x)

Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
                                                           ного»
                                                         3
1. Вычислить и записать в алгебраической форме (121 − i )31 + 2 + i .
                                                                                     i       +i       1− i

                                                  (
2. Решить уравнение: 6 x + y − x 2 + iy i = 2 − 9i.           )
3. Вычислить и записать в тригонометрической форме 4 − 1
                                                                                                     16
4. Изобразить                          область,                          ограниченную                             линиями:
                           ⎧ z −1− i p 1
                           ⎪
   a ) − Re z + z ≤ 0, б ) ⎨         π
                           ⎪ arg z ≤
                           ⎩         4

5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
   U ( x; y ) = y − 2 xy. .

6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
   замкнутому контуру:
                          z 2dz                         3 − 2z + 4 z 4                                  π dz
     .a)      ∫                      dz,    б)    ∫                      dz,    в)       ∫                              .
           z −3 = 2
                    (z − 4) (z +1)
                             3
                                                 z =1
                                                             z   3
                                                                                     z −i =3
                                                                                             (z + 2 − i)2 (z + 4 − i)


                                                                 7