Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

15
Вариант 6
Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
1. Определить сходимость числового ряда
()1
2
2
2
1
n=1
n
n
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
∞
∑
()2
4
3
2
n=1
n
n
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∞
∑
()
!
3
3
22
n=1
n
n
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∞
∑
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
1=n
)1(
10
)4(
2/
n
n
n
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⋅−
1=n
1
)1(
)5(
2
2
n
n
n
2. Найти область сходимости функционального ряда:
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
1=n
!
)1(
n
n
xn
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅
⋅
−
−
1=n
)1(3
1
)1(
)2(
n
n
n
x
n
3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)
)1(=)(
5
+xxf (2)
)1ln(
=)(
2
x
x
xf
+
по степеням )(x
Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
ного»
1. Вычислить и записать в алгебраической форме
.
12
1
51
2
i
i
i
i
i
−
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
.
2. Решить уравнение:
()
(
)
.023
=
+
−
+
− yixiyxi
3. Вычислить и записать в тригонометрической форме
,
16
1
4
−=z
4. Изобразить область, ограниченную линиями:
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤
<≤−
>−
−<+
3Re0
0Im1
11
,4
z
z
z
izza
б)
5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
()
.13;
23
+−= xyxyxU .
6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
замкнутому контуру:
)
()()
()()
∫∫ ∫
=+= =−
−−−−
−+
++
241 2
25
43
3
.
31
,
532
,
13
2
.
zz iz
z
iziz
dze
dz
z
zz
zz
zdz
a
в) б) 
                                                                 Вариант 6
                   Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
                                                                                                  ∞ ⎡ n2 ⎤                     ∞ ⎡ n ⎤
1. Определить сходимость                                       числового ряда              (1)    ∑ ⎢           ⎥      ( 2)    ∑ ⎢          ⎥
                                                                                                 n=1 ⎢⎣ 2 n2 +1⎥⎦             n=1 ⎣ 4n3 − 2 ⎦

                   ∞ ⎡ 3n! ⎤              ∞ ⎡ 10 n / 2 ⎤             ∞ ⎡ (−1) n ⋅ n 2 ⎤
       ( 3)        ∑ ⎢         ⎥    ( 4) ∑ ⎢               ⎥    (5) ∑ ⎢               ⎥
                  n=1 ⎣ 2n + 2 ⎦         n =1 ⎢⎣ (n −1) n ⎥⎦        n =1 ⎢⎣ n 2 +1 ⎥⎦

2. Найти область сходимости функционального ряда:                                                                    ∞ ⎡ n ⋅ xn ⎤
                                                                                                             (1)     ∑ ⎢         ⎥
                                                                                                                    n = 1 ⎢⎣ n! ⎥⎦

            ∞ ⎡ (−1) n −1 ⋅ x n ⎤
       (2) ∑ ⎢                  ⎥
           n =1 ⎢⎣ 3 n ⋅(n +1) ⎥⎦


3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1) f ( x) = ( x + 1) 5 (2)
                     ln( x + 1)     по степеням                ( x)
       f ( x) =
                         x2

 Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
                                                                       ного»
                                                                                                            2
1. Вычислить и записать в алгебраической форме                                                       ⎛ 1+ i ⎞       i
                                                                                                     ⎜
                                                                                                                51
                                                                                                            ⎟ +i −      ..
                                                                                                     ⎝2−i⎠         1− i

2. Решить уравнение: (3 − i )x + y − i(2 x + yi ) = 0.
3. Вычислить и записать в тригонометрической форме                                                                      1
                                                                                                             z4 = −       ,
                                                                                                                       16

4. Изобразить                                    область,                         ограниченную                                  линиями:
                                               ⎧ z −1 > 1
                                               ⎪
                      a)    z + 4 < z − i , б) ⎨− 1 ≤ Im z < 0
                                               ⎪0 ≤ Re z < 3
                                               ⎩

5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
                        U ( x; y ) = x 3 − 3xy 2 + 1. .

6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
                      замкнутому контуру:
                            2 zdz                          2 + 3z 3 − 5z 4                                          e z dz
.a )          ∫                          ,     б)    ∫                          dz ,      в)     ∫                                    .
       z + 4 =2 ( z + 3) ( z + 1)                                                              z −i =2 ( z − 1 − i ) ( z − 3 − i )
                        3
                                                    z =1
                                                                      z5                                            2




                                                                           15

Страницы