Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

19
Вариант 8
Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
1. Определить сходимость числового ряда
∑
∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
1=n
52
15
)1(
n
n
∑
∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
1=n
)12)(22(
5
)2(
nn
∑
∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
1=n
)!5(3
2
)3(
n
n
n
n
n
∑
∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
1=n
12
1
)4(
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅
−
+
1=n
32
)1(
)5(
4
1
nn
n
2. Найти область сходимости функционального ряда:
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
1=n
83
)5(
)1(
n
n
x
∑
∞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅
−
−
1=n
)12(
)6(
1
)1( )2(
nn
n
x
n
3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)
)12(=)( +xxf
(2)
(4x)sin=)( ⋅xxf по степеням )(x
Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
ного»
1. Вычислить и записать в алгебраической форме
(
) ()
.
2
1
2
1
17
i
i
i
i
i
+
+
−
−
−
+
.
2. Решить уравнение:
()
(
)
.31516 ixiyiix
−
=
−
+
−
3. Вычислить и записать в тригонометрической форме
iz −= 1
4
4. Изобразить область, ограниченную линиями:
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<≤
≥
<
=+
4
arg0
1Re
2
,2
π
z
z
z
ziza б)
5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
()
.3;
32
yyxyxyxU −+= .
6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
замкнутому контуру:
)
()()
) )
()
()()
∫∫ ∫
=+= =−
−−−−
+−+
−+
+
241 23
25
23
3
.
3331
12
,
2
232
,
23
)1(
zz iz
iziz
dzz
dz
z
zz
zz
dzz
a
в б 
                                                     Вариант 8
            Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
                                                                                      ∞     5n −1
1. Определить сходимость                           числового ряда (1) ∑ ⎡⎢          ⎤
                                                                                    ⎥
                                                                      n =1 ⎣ 2n + 5 ⎦

           ∞ ⎡          5        ⎤            ∞ ⎡ n+2 ⎤                  ∞ ⎛ n +1 ⎞ n      ∞ ⎡ (−1) n +1 ⎤
     ( 2) ∑ ⎢                    ⎥       (3) ∑ ⎢             ⎥      (4) ∑ ⎜         ⎟ (5) ∑ ⎢                   ⎥
          n =1 ⎣ (2n − 2)(2n +1) ⎦           n =1 ⎣ 3(n + 5)!⎦          n =1⎝ 2n −1 ⎠     n =1 ⎢⎣ n ⋅ 4 2n + 3 ⎥⎦

                                                                                                      ∞ ⎡ ( x − 5) n ⎤
2. Найти область сходимости функционального ряда:                                                (1) ∑ ⎢             ⎥
                                                                                                     n =1 ⎢⎣ 3n + 8 ⎥⎦

          ∞ ⎡           ( x − 6) n ⎤
     (2) ∑ ⎢(−1) n −1 ⋅            ⎥
         n =1 ⎢⎣        n(2n −1) ⎥
                                   ⎦

3. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)                                        f ( x) = (2 x + 1)     (2)
     f ( x) = x ⋅ sin (4x) по степеням (x)

Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного перемен-
                                                         ного»

1. Вычислить и записать в алгебраической форме
                                                                                      (1 + i ) − (1 − i ) + i17 . .
                                                                                       2−i        2+i
2. Решить уравнение: (6ix − 1)i + 5 y (i − 1) = 3 x − i.
3. Вычислить и записать в тригонометрической форме z 4 = 1 − i
4. Изобразить                           область,                       ограниченную                              линиями:
                                          ⎧
                                          ⎪z <2
                                          ⎪
               a ) z + 2i = z ,        б) ⎨ Re z ≥ 1
                                          ⎪             π
                                          ⎪ 0 ≤ arg z <
                                          ⎩             4

5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
                 U (x; y ) = 3x 2 y + yx − y 3 . .

6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить интеграл по
               замкнутому контуру:

a)
                  ( z + 1)dz
                                  , б)
                                                 2 z 3 + 3z 2 − 2
                                                                    dz , в )
                                                                                                  (2 z + 1)dz
        ∫      (z + 3)3 (z − 2)            ∫          2z5
                                                                                  ∫       ( z − 1 − 3i )2
                                                                                                          ( z − 3 − 3i )
                                                                                                                         .
     z +4 =2                              z =1                                 z − 3i = 2




                                                             19

Страницы