Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

25
Методические указания к решению контрольной работы
Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
1. Исследовать на сходимость ряд
...
ln
1
...
3ln
1
2ln
1
++++
n
Решение.
Используем I признак сравнения. Так как
nn
1
ln
1
>
, а гармонический ряд
∑
n
1
расходится, то расходится и ряд
∑
nln
1
.
2. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=1
.
2
1
n
n
n
Решение.
Используем I признак сравнения. Так как
nn
n 2
1
2
1
< , а ряд
∑
n
2
1
сходится
(как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд
∑
∞
=1
2
1
n
n
n
тоже схо-
дится.
3. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=1
5
n
n
tg
π
.
Решение.
Применим предельный признак сравнения, возьмем
n
v
n
1
= , который расхо-
дится, так как является гармоническим рядом. Тогда
0
5
//
1
5
lim ≠==
∞→
π
π
ностиэквиваленттаблицепо
n
n
tg
n
, следовательно, ряд расхо-
дится.
4. Определить сходимость ряда
∑
∞
=1
2
n
n
n
.
Решение.
Используем признак Даламбера. Для этого определим
1
1
2
1
2
+
+
+
==
n
n
n
n
n
uи
n
u
.
Тогда
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2)1(
limlim
1
1
<=
+
=
+
=
+
=
+
∞→
+
∞→
n
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n
, следовательно, ряд сходит-
ся.
5. Определить сходимость ряда
...
!
1
...
!2
1
!1
1
1 +++++
n
Решение.
Используем признак Даламбера. Для этого определим
)!1(
1
!
1
1
+
==
+
n
uи
n
u
nn
. 
       Методические указания к решению контрольной работы
                Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
                                                       1    1            1
      1. Исследовать на сходимость ряд                    +     + ... +      + ...
                                                      ln 2 ln 3         ln n
      Решение.
                                                            1   1                                               1
Используем I признак сравнения. Так как                        > , а гармонический ряд
                                                           ln n n
                                                                                                              ∑n
                                               1
расходится, то расходится и ряд          ∑ ln n .
                                                       ∞
                                                                 1
      2. Исследовать на сходимость ряд                ∑ n2
                                                      n =1
                                                                     n
                                                                         .

      Решение.
                                                                  1     1                            1
Используем I признак сравнения. Так как
                                                                 n2 n
                                                                      < n , а ряд
                                                                       2
                                                                                             ∑2      n
                                                                                                          сходится
                                                                                        ∞
                                                                                             1
(как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд                                   ∑ n2
                                                                                    n =1
                                                                                                 n
                                                                                                         тоже схо-
дится.
                                                       ∞
                                                                     π
      3. Исследовать на сходимость ряд                ∑ tg 5n .
                                                      n =1

      Решение.
                                                                                    1
Применим предельный признак сравнения, возьмем v n = , который расхо-
                                                                                    n
дится,            так     как     является         гармоническим                            рядом.           Тогда
            π
       tg
lim         5n = / по таблице эквивалентности / = π ≠ 0 , следовательно, ряд расхо-
n →∞        1                                     5
            n
дится.
                                               ∞
                                                      n
      4. Определить сходимость ряда            ∑2
                                               n =1
                                                        n
                                                             .
  Решение.
Используем              признак     Даламбера.                           Для   этого                     определим
        n             n +1
un =      n
            и u n +1 = n +1 .
        2             2
                                               1
                                         1+
         u           (n + 1)2n n + 1           n = 1 < 1 , следовательно, ряд сходит-
Тогда lim n +1 = lim n +1 =          =
      n→∞ u      n→∞   2 n      2n           2     2
            n

ся.
                                                      1          1         1
      5. Определить сходимость ряда 1 + +                           + ... + + ...
                                                      1!         2!        n!
  Решение.
Используем              признак     Даламбера.                           Для   этого                     определим
     1               1
un =    и un +1 =          .
     n!           (n + 1)!
                                              25

Страницы