Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

27
Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного
ряда:
∑
∞
=
−
1
12
1
n
n
. Возьмем гармонический ряд
∑
∞
=1
1
n
n
, который расходится, и
используем 2 признак сравнения:
2
1
12
lim
1
12
1
lim =
−
=÷
−
∞→∞→
n
n
nn
nn
. Следователь-
но, ряд из абсолютных величин расходится.
Таким образом, получаем, что исходный знакочередующийся ряд схо-
дится условно.
10. Исследовать на сходимость ряд
......
32
32
+++++
n
xxx
x
n
Решение.
Найдем радиус сходимости, применяя признак Даламбера:
x
n
x
n
xn
n
x
n
x
u
u
R
nn
n
n
n
n
n
n
=
+
=
+
=
+
==
∞→∞→
+
∞→
+
∞→
1
1
lim
1
lim
1
limlim
1
1
1
.
Получаем, что этот ряд сходится при
1<x и расходится при 1>x , полу-
чаем интервал сходимость: -1<x<1.
Рассмотрим ряд на границах полученного интервала.
При х = -1:
...
4
1
3
1
2
1
1 −+−+−
ряд сходится по признаку Лейбница.
При х = 1:
...
1
...
3
1
2
1
1 +++++
n
ряд расходится (гармонический ряд).
Таким образом, ряд сходится при 11
<
≤
−
x
.
11. Найти область сходимости ряда
∑
∞
=
−
+
1
1
)1(
3
n
nn
n
xn
.
Решение.
Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Коши::
∞=====
∞→
−
∞→−∞→∞→
3
lim
3
lim
3
1
lim
1
lim
1
1
nn
n
a
R
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
.
Получаем, что ряд сходится при
∞<
+1
1
x
, следовательно, 01 =+x .
Таким образом, ряд сходится в одной точке
1
−
=
x .
3. Найти область сходимости ряда
...
!
...
!3!2
32
+++++
n
xxx
x
n
Найдем радиус сходимости, применяя обратный признак Даламбера:
∞==
−
=
−
==
∞→∞→∞→
−
∞→
n
n
n
n
n
a
a
R
nnn
n
n
n
lim
)!1(
!
lim
!
1
)!1(
1
limlim
1
. 
     Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного
          ∞                                         ∞
              1                                         1
ряда: ∑n =1 2n − 1
                   . Возьмем гармонический   ряд  ∑n =1 n
                                                          , который расходится, и
                                           1     1            n   1
используем 2 признак сравнения: nlim            ÷ = lim         = . Следователь-
                                     → ∞ 2n − 1  n n → ∞ 2n − 1 2
но, ряд из абсолютных величин расходится.
     Таким образом, получаем, что исходный знакочередующийся ряд схо-
дится условно.
                                                             x2 x3         xn
   10. Исследовать на сходимость ряд x +                       +   + ... +    + ...
                                                             2   3         n
  Решение.
Найдем радиус сходимости, применяя признак Даламбера:
                     x n +1
1         u                        xn           x
  = lim n +1 = lim n +n 1 = lim        = lim        = x.
R   n → ∞  un  n → ∞  x     n → ∞ n +1   n → ∞    1
                                               1+
                       n                          n
Получаем, что этот ряд сходится при x < 1 и расходится при x > 1 , полу-
чаем интервал сходимость: -1

Страницы