Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 26 стр.

                un +1            n!              1
Тогда lim             = lim            = lim        = 0 < 1 , следовательно, ряд сходится.
         n →∞    un     n → ∞ (n + 1)!   n → ∞ n +1
                                                                             n
                                       ⎛ 2n 2 + 1 ⎞   ∞
    6. Определить сходимость ряда ∑ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
                                  n =1 ⎝ 3n + 5 ⎠

  Решение.
Используем радикальный                  признак           Коши.                  Для    этого   определим
                                                            1
                  n                                                     2+
      ⎛ 2n + 1 ⎞
         2
                                           2n + 1 2
                                                           n 2 = 2 < 1 , следовательно,
un = ⎜⎜ 2      ⎟⎟ . Тогда lim n u n = lim 2       = lim
      ⎝ 3n + 5 ⎠          n→∞         n →∞ 3n + 5   n →∞    5    3
                                                         3+ 2
                                                           n
ряд сходится.
                                                      ∞                 n

    7. Определить сходимость ряда ∑ ⎛⎜1 + ⎞⎟ .
                                         1
                                  n =1 ⎝ n⎠
    Решение.
                                                                                                 n

Используем радикальный признак Коши. Для этого un = ⎛⎜1 + ⎞⎟
                                                                1
                                                                     Тогда
                                                             ⎝ n⎠
                 ⎛ 1⎞
lim n u n = lim⎜1 + ⎟ = 1. Таким образом, радикальный признак Коши не дает
n→∞         n →∞
                 ⎝ n⎠
ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого
                                                      n
                                   ⎛ 1⎞
условия сходимости: nlim un = lim ⎜1 + ⎟ = e ≠ 0 , следовательно, необходимое
                      →∞      n →∞
                                   ⎝ n⎠
условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
                                                          ∞
                                                                    1
    8. Исследовать на сходимость ряд                      ∑ n ⋅ ln n .
                                                          n=2

  Решение.
Используем интегральный признак Коши.
∞
    dx
∫ x ln x = ln ln x
                      ∞
                      2   = ∞ , следовательно, ряд расходится.
2
                                                          ∞
                                                                               1
    9. Исследовать на сходимость ряд                      ∑ (− 1)
                                                          n =1
                                                                        n

                                                                             2n − 1
                                                                                    .
   Решение.
Дан знакочередующийся ряд. Выясним, сходится ли данный ряд, применяя
признак Лейбница:
    1) проверим, выполняется ли неравенство u1 > u 2 > u 3 > ... для абсо-
                                              1                 1                1
лютных величин членов ряда. u1 = , u2 = , u3 = , ... , следовательно, нера-
                                              1                 3                5
венство выполняется.
                                                                              1
     2) найдем предел общего члена ряда: nlim                                      = 0 , следовательно, ус-
                                           →∞                               2n − 1
ловие выполнено.
    Значит, по признаку Лейбница, исходный ряд сходится.
                                                  26