Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

28
Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х, так как об-
щий член этого ряда стремится к нулю.
12. Разложить в ряд Маклорена функцию
x
xf 3)( =
.
Решение.
Так как
3ln3ln
3
xx
ee
x
==
. Получаем:
);(...,
!
3ln
...
!3
3ln
!2
3ln
!1
3ln
13
3
3
2
2
∞−∞∈++++++= xx
n
xxx
n
n
x
13. Разложить в ряд Маклорена функцию
)4ln()( xxf −
=
.
Решение.
Так как
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−
4
1ln4ln
4
14ln)4ln(
xx
x
, то
.441
4
1
...
4
1
...
3
4
1
2
4
1
4
1
4ln...
3
4
2
4
4
4ln)4ln(
3
3
2
2
32
<≤−⇒≤−<−
−−−−−−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=−
x
x
при
n
xxx
x
xx
x
x
n
n
14. Разложить в ряд Маклорена функцию
x
xf
−
=
3
2
)(
.
Решение.
Так как
3
1
1
3
2
3
13
2
3
2
x
x
x
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
, заменив х на
3
x
, получаем
331
3
1,
3
...
33
1
3
2
3
2
2
<<−⇒<<−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
−
x
x
при
xxx
x
n
.
Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного
переменного»
1. Найти
21
zz
±
,
21
zz ⋅
,
2
1
z
z
, если
iz 512
1
+
=
,
iz 43
2
−
=
.
Решение.
iiizz
+
=−++=+ 15)43()512(
21
;
iiizz 99)43()512(
21
+
=−−+=−
;
iiizz 3356)43()512(
21
−
=−
⋅
+=⋅
;
)43()43(
)43()512(
43
512
2
1
ii
ii
i
i
z
z
+⋅−
+⋅+
=
−
+
=
i
i
25
63
25
16
25
6316
+=
+
=
i52,264,0 +
=
.
2. Решить уравнение
iyiyxi
+
=
+
−
32)(
.
Решение.
Раскроем скобки:
iyyix
+
=
++ 32
. 
Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х, так как об-
щий член этого ряда стремится к нулю.

    12. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x) = 3 .
                                                    x


    Решение.
                      x
Так как 3 = e      = e x ln 3 . Получаем:
         x    ln 3

           ln 3    ln 2 3 2 ln 3 3 3        ln n 3 n
3x = 1 +        x+       x +      x + ... +       x + ..., x ∈ (−∞; ∞)
            1!       2!       3!              n!
    13. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x) = ln(4 − x) .
    Решение.
                                             ⎛        x ⎞
Так как ln(4 − x) = ln 4⎛⎜1 − ⎞⎟ = ln 4 + ln⎜⎜1 + ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎟⎟ , то
                             x
                           ⎝    4⎠            ⎝    ⎝ 4 ⎠⎠
                                     2        3
                           ⎛ x⎞   ⎛ x⎞
                           ⎜− ⎟   ⎜− ⎟
                   ⎛ x⎞ ⎝ 4⎠      ⎝ 4⎠               1    1 x2 1 x3         1 xn
ln(4 − x) = ln 4 + ⎜ − ⎟ −      +      − ... = ln 4 − x − 2    − 3  − ... − n    − ...
                   ⎝ 4⎠      2      3                4   4 2 4 3           4 n
               x
при − 1 < − ≤ 1 ⇒ − 4 ≤ x < 4.
               4
                                                              2
   14. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x) =                .
                                                            3− x
    Решение.
            2        2      2 1                     x
Так как        =         =           , заменив х на , получаем
         3− x     ⎛ x ⎞ 3 1− x                      3
                 3⎜1 − ⎟
                  ⎝ 3⎠            3
      2 ⎛⎜                   ⎛ x ⎞ ⎞⎟
                       2          n
 2            x ⎛ x⎞                           x
    =      1 + + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ , при − 1 < < 1 ⇒ −3 < x < 3 .
         ⎜
3− x 3 ⎝ 3 ⎝ 3⎠              ⎝3⎠ ⎠  ⎟          3


        Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного
                                          переменного»
                                       z
    1. Найти z1 ± z2 , z1 ⋅ z 2 , 1 , если z1 = 12 + 5i , z2 = 3 − 4i .
                                       z2
    Решение.
z1 + z 2 = (12 + 5i ) + (3 − 4i ) = 15 + i ;
z1 − z2 = (12 + 5i ) − (3 − 4i ) = 9 + 9i ;
z1 ⋅ z2 = (12 + 5i ) ⋅ (3 − 4i ) = 56 − 33i ;
z1 12 + 5i (12 + 5i ) ⋅ (3 + 4i ) 16 + 63i 16 63
     =         =                         =       = + i = 0,64 + 2,52 i .
z2 3 − 4i         (3 − 4i ) ⋅ (3 + 4i )       25   25 25
   2. Решить уравнение i ( x − iy ) + 2 y = 3 + i .
   Решение.
   Раскроем скобки: ix + y + 2 y = 3 + i .

                                                  28

Страницы