Составители:
Рубрика:
30
б)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤
≥
.
3
arg0
,1
π
z
z
5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
()
32; −= xyyxv .
Решение.
Найдем частные производные:
0,0,2,2
2
2
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
y
v
x
v
x
y
v
y
x
v
.
Следовательно,
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
=Δ
y
v
x
v
v для любой пары действительных чисел
х и у, т.е. функция
),( yxv является гармонической во всей плоскости
2
R
.
Значит, существует аналитическая функция
),(),()( yxivyxuzf +
=
.
Из первого условия Коши-Римана получаем равенство
x
y
v
x
u
2=
∂
∂
=
∂
∂
.
Тогда
)()(2)(),(
2
yxyxdxydx
x
u
yxu
ϕϕϕ
+=+=+
∂
∂
=
∫∫
.
Из второго условия Коши-Римана имеем равенство
y
x
v
y
u
2−=
∂
∂
−=
∂
∂
.
Получаем
()
yyyx
y
u
y
2)()(
2
−=
′
=
′
+=
∂
∂
ϕϕ
.
Следовательно,
CyCydyy +−=+−=
∫
2
2)(
ϕ
.
Значит,
Cyxyxu +−=
22
),( .
Ответ:
CizCiiyxCiyixyxxyiCyxzf +−=+−+=+−−+=−++−= 33)(3)2()32()(
222222
6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить ин-
теграл по замкнутому контуру:
)
()
) )
()( )
∫∫ ∫
=−= =−
−−−−
+
−
241 2
223
.
21
,
1
,
1
zz z
iziz
zdz
dz
z
z
zz
dz
a
i
в б
Решение.
а) Так как подынтегральная функция
zz
3
)1(
1
−
аналитична на всей ком-
плексной плоскости С, за исключением точек z=1 и z=0, которые не
лежат внутри окружности
24 =−z и на этой окружности (Рис.4), то
по теореме Коши получим:
()
∫
=−
=
−
24
3
0
1
z
zz
dz
.
х
у
0
Рисунок 3
0
1
4
х
у
Рисунок 4
у
⎧ z ≥ 1,
⎪
б) ⎨ π
⎪0 ≤ arg z < .
⎩ 3
0 х
Рисунок 3
5. Восстановить аналитическую функцию, если известна ее часть
v( x; y ) = 2 xy − 3 .
Решение.
∂v ∂v ∂ 2v ∂ 2v
Найдем частные производные: = 2 y, = 2 x, 2 = 0, 2 = 0 .
∂x ∂y ∂x ∂y
∂ 2v ∂ 2v
Следовательно, Δv = + = 0 для любой пары действительных чисел
∂x 2 ∂y 2
х и у, т.е. функция v( x, y ) является гармонической во всей плоскости R 2 .
Значит, существует аналитическая функция f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) .
∂u ∂v
Из первого условия Коши-Римана получаем равенство = = 2x .
∂x ∂y
∂u
Тогда u ( x, y ) = ∫ dx + ϕ ( y ) = ∫ 2 xdx + ϕ ( y ) =x 2 + ϕ ( y ) .
∂x
∂u ∂v
Из второго условия Коши-Римана имеем равенство = − = −2 y .
∂y ∂x
∂u ′
Получаем
∂y
( )
= x 2 + ϕ ( y ) y = ϕ ′( y ) = −2 y .
Следовательно, ϕ ( y ) = ∫ − 2 ydy + C = − y 2 + C .
Значит, u ( x, y ) = x 2 − y 2 + C .
Ответ:
f ( z ) = x 2 − y 2 + C + i (2 xy − 3) = ( x 2 + 2ixy − y 2 ) − 3i + C = ( x + iy ) 2 − 3i + C = z 2 − 3i + C
6. Найти все вычеты подынтегральной функции и вычислить ин-
теграл по замкнутому контуру:
dz z +1 zdz
a) ∫ (z − 1) 3
, б) ∫ 2
dz , в) ∫ (z − 1 − i ) (z − 2 − i ) .
2
z −4 =2 z z =1 z z −i = 2
Решение.
1
а) Так как подынтегральная функция аналитична на всей ком-
( z − 1) 3 z
плексной плоскости С, за исключением точек z=1 и z=0, которые не
лежат внутри окружности z − 4 = 2 и на этой окружности (Рис.4), то
dz
по теореме Коши получим: ∫ (z − 1)
z −4 =2
3
z
= 0.
у
30
0 1 4 х
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
