Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

29
Создадим систему:
⎩
⎨
⎧
=
=+
iix
yy 32
.
Следовательно,
⎩
⎨
⎧
=
=
1
1
x
y
Получаем: iz
+
=
1
3. Найти все значения
3
1 i+−
.
Решение.
Запишем в тригонометрической форме:
(
)
4
3
sin
4
3
cos21
π
π
iiz +=+−= .
Теперь используем формулу Муавра
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=+−
3
2
4
3
sin
3
2
4
3
cos21
3
3
k
i
k
i
π
π
π
π
, 2,1,0
=
k
.
Отсюда получаем три значения корня:
0=k
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
4
sin
4
cos2
6
2
ππ
iz
,
4
1
π
ϕ
=
;
1=
k
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
12
11
sin
12
11
cos2
6
2
ππ
iz,
12
11
2
π
ϕ
= ;
2=
k
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
12
19
sin
12
19
cos2
6
3
ππ
iz,
12
19
3
π
ϕ
=
.
Изобразим полученные значения на ок-
ружности радиуса
6
2
(рис. 2). Как видно из
рисунка,
210
,, zzz
являются вершинами пра-
вильного треугольника.
Рисунок 1.
4. Изобразить область, ограниченную линиями:
а)
zz =+1
Решение.
Преобразуем:
iyxiyx +=++ 1 iyxiyx +=++⇒ )1(
2222
)1( yxyx +=++⇒
2222
12 yxyxx +=+++⇒
5,0012 −=⇒=+⇒ xx
-0,5
у
х
0
Рисунок 2 
                     ⎧y + 2y = 3
  Создадим систему: ⎨            .
                     ⎩ ix = i
                 ⎧y = 1
  Следовательно, ⎨        Получаем: z = 1 + i
                 ⎩x = 1
   3. Найти все значения 3 − 1 + i .
   Решение.
  Запишем в тригонометрической форме: z = −1 + i = 2 cos 3π + i sin 3π .
                                                                    4 4
                                                                               (               )
  Теперь используем формулу Муавра
                    ⎛    3π               3π       ⎞
                    ⎜        + 2πk           + 2πk ⎟
   3 − 1 + i = 3 2 ⎜ cos 4         + i sin 4       ⎟ , k = 0,1, 2 .
                    ⎜⎜       3               3     ⎟⎟
                     ⎝                              ⎠
  Отсюда получаем три значения корня:
                ⎛     π       π⎞
k = 0 , z 2 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , ϕ1 = π ;
             6

                ⎝      4      4⎠        4

                 ⎛     11π         11π ⎞           π;
k = 1 , z2 = 6 2 ⎜ cos     + i sin     ⎟ , ϕ 2 = 11
                                                  12
                 ⎝      12          12 ⎠

                 ⎛     19π         19π    ⎞           π.
k = 2 , z3 = 6 2 ⎜ cos     + i sin        ⎟ , ϕ 3 = 19
                                                     12
                 ⎝      12          12    ⎠
  Изобразим полученные значения на ок-
                         6
ружности радиуса             2 (рис. 2). Как видно из                 Рисунок 1.
рисунка, z 0 , z1 , z 2 являются вершинами пра-
вильного треугольника.


   4. Изобразить область, ограниченную линиями:
   а) z +1 = z
   Решение.                                                                         у
   Преобразуем: x + iy + 1 = x + iy ⇒ ( x + 1) + iy = x + iy
   ⇒ ( x + 1) 2 + y 2 = x 2 + y 2 ⇒ x 2 + 2 x + 1 + y 2 = x 2 + y 2
                                                                                               х
   ⇒ 2 x + 1 = 0 ⇒ x = −0,5                                             -0,5        0


                                                                                   Рисунок 2



                                                29

Страницы