Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 34 стр.

Обе эти формулы позволяют вычислить производную с первым порядком
точности. Вычислим производную со вторым порядком точности, для че-
го воспользуемся формулой:
                         y3 − y2 y2 − y1
                                 −
               y2 − y1 x3 − x2 x2 − x1
y′(0.2) = y2 +         +                    (2 ⋅ 0.2 − x1 − x2 ) =
               x2 − x1        x3 − x1
                             1.3499 − 1.2214 1.2214 − 1.1052
                                                −
           1.2214 − 1.1052       0 .3 − 0.2           0.2 − 0.1
= 1,2214 +                 +                                       (2 ⋅ 0,2 − 0.1 − 0.2) = 2,44.
               0.2 − 0.1                    0.3 − 0.1
    Замечание. Результат вычисления производной со вторым порядком
точности в случае равномерной сетки совпадает с полусуммой левосто-
ронней и правосторонней производных.
Вычислим вторую производную в точке х = 0.2, используя соотношение:
             y3 − y2 y2 − y1    1.3499 − 1.2214 1.2214 − 1.1052
                     −                              −
             x3 − x2 x2 − x1        0. 3 − 0 .2           0.2 − 0.1
y′′(0.2) = 2                 =2                                     = 1.2224.
                  x3 − x1                       0.3 − 0.1

3. а) Опытные данные определены таблицей
     xi     0            1           3       4
     yi     4            0           1       2
    Установить вид эмпирической формулы y=f(x), используя ап-
проксимирующую зависимость с тремя параметрами a, b и с, имею-
щую вид y = Q( x, a, b, c) = ax 2 + bx + c .
                                                                                                      n
Решение. Здесь соотношение имеет вид: S (a, b, c) = ∑ (axi2 + bxi + c − yi ) 2 . Для
                                                                                                     i =1

                                                                                                            ∂S      ∂S      ∂S
нахождения a, b и c составим систему уравнений:                                                                = 0,    = 0,    =0.
                                                                                                            ∂a      ∂b      ∂c
Отсюда получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвест-
ными:
      ⎧n                                             ⎧ 4 4                 4                 4               4

      ⎪∑ i            +      +    −            =     ⎪ ∑ i          +    ∑            +    ∑           = ∑
                  2                          2                                    3                 2
             ( ax       bxi    c    xi  )  xi    0     a      x        b       x  i      c        xi            yi xi2
      ⎪ i=n1                                         ⎪ i=41              i =1              i =1            i =1
      ⎪                                              ⎪                      4                  4             4

      ⎨∑ i            +      +    −            =   ⇔ ⎨ ∑ i          +    ∑            +    ∑           = ∑      yi xi ⇔
                  2                                               3                 2
             ( ax       bx i    c   y i )  x i   0     a       x       b        x  i     c        x  i
      ⎪ n
        i =1                                         ⎪   i =1
                                                                4
                                                                          i =1
                                                                                 4
                                                                                             i =1          i
                                                                                                           4
                                                                                                             =1
      ⎪                                              ⎪ a x2 + b x + c ⋅ n =
      ⎪ ∑              +       +   −          =              ∑                 ∑                         ∑
                    2
               ( ax i    bx  i   c    y  i )    0    ⎪               i                 i                        yi
      ⎩ i=1                                          ⎩        i =1             i =1                      i =1

      ⎧338a + 92b + 26c = 41
      ⎪
      ⎨ 92a + 26b + 8c = 11
      ⎪ 26a + 8b + 4c = 7
      ⎩
Решаем систему, имеем: a=5/6; b=-109/30; c=18/5.
Эмпирическая формула представляет собой функцию:



                                                                     34