Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр). Ребро И.В. - 36 стр.

         Покажем это на графике:
                 9
                 8
                 7
                 6
                 5
                 4
                 3
                 2
                 1
                 0
                -1                   1                                2                 3                      4                  5

                -2



                             Тема «Операционное исчисление»
1. Найти изображение функций-оригиналов, используя определение:
а) f (t ) = η (t ) ; б) f (t ) = e 5t .
Решение.
                                                                                      +∞                                 +∞
                                                                                                               1                  1
а) Для функции f (t ) = η (t ) имеем F ( p ) = ∫ 1 ⋅ e                                            − pt
                                                                                                         dt = − e − pt        =     , Re p > 0 ,
                                                                                        0
                                                                                                               p         0
                                                                                                                                  p
                                   − ( s + iσ )t
так как e         − pt
                             = e                     =e      − st
                                                                    cos σt − i sin σt = e        − st
                                                                                                        , то
lim e − st = 0 при s > 0, s = Re p > 0 .
t → +∞

б) Для функции f (t ) = e 5t имеем
          +∞                             +∞                                                  +∞
                                                                           1                               1
F ( p) = ∫ e    − pt
                       ⋅ e dt = ∫ e
                             5t                    − ( p − 5 )t
                                                                  dt = −      e −( p −5 )t          =         при Re p > 5 .
           0                               0
                                                                         p −5                0
                                                                                                          p−5
2. Найти изображения следующих функций-оригиналов, используя
теоремы операционного исчисления.
а) sh 2t ; б) t sh 2t ; в) cos 3t ; г) e t ⋅ cos 3t .
Решение.
а) Имеем f (t ) = sh 2t = (e − e )2 .
                            2t  −2 t



                                     •                                                            1            •  1
Используя теорему смещения для e 2t ⎯
                                    ⎯→                                                               ; e − 2t ⎯
                                                                                                              ⎯→
                                                                                                 p−2             p+2
и окончательно, учитывая свойство линейности, запишем
               e 2 t − e −2 t • 1 ⎛ 1     1 ⎞       2
sin(2t ) =                   ⎯⎯→ ⎜⎜    −     ⎟⎟ = 2   ;
                     2          2⎝ p −2 p + 2⎠ p −4
б) для функции f (t ) = t sh 2t используем теорему о дифференцировании
изображения:
                                                  ′
                  2                       ⎛ 2 ⎞          4p
если sh(2t ) ⎯
             ⎯→ 2        •
                                     ⎯→ −⎜⎜ 2
                    , то t ⋅ sh(2t ) ⎯•
                                                ⎟⎟ =           ;
               p −4                       ⎝ p −4⎠    ( p − 4)2
                                                        2


                                   e i 3t + e − i 3t
в) имеем cos 3t =                                    .
                                          2


                                                                                   36