Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (3 семестр) для студентов специальности 060800.65. Ребро И.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

20
Методические указания к решению контрольной работы
Тема «Комплексные числа»
1. Найти
21
zz
±
,
21
zz ⋅
,
2
1
z
z
, если
iz 512
1
+
=
,
iz 43
2
−
=
.
Решение.
iiizz
+
=−++=+ 15)43()512(
21
;
iiizz 99)43()512(
21
+
=−−+=−
;
iiizz 3356)43()512(
21
−
=−
⋅
+=⋅
;
)43()43(
)43()512(
43
512
2
1
ii
ii
i
i
z
z
+⋅−
+⋅+
=
−
+
=
i
i
25
63
25
16
25
6316
+=
+
=
i52,264,0 +
=
.
2. Решить уравнение
iyiyxi
+
=
+
−
32)(
.
Решение.
Раскроем скобки:
iyyix
+
=
++ 32
.
Создадим систему:
⎩
⎨
⎧
=
=+
iix
yy 32
.
Следовательно,
⎩
⎨
⎧
=
=
1
1
x
y
Получаем: iz
+
=
1
3. Найти все значения
3
1 i+−
.
Решение.
Запишем в тригонометрической форме:
(
4
3
sin
4
3
cos21
π
π
iiz +=+−= .
Теперь используем формулу Муавра
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=+−
3
2
4
3
sin
3
2
4
3
cos21
3
3
k
i
k
i
π
π
π
π
, 2,1,0
=
k
.
Отсюда получаем три значения корня:
0=k
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
4
sin
4
cos2
6
2
ππ
iz
,
4
1
π
ϕ
=
;
1=
k
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
12
11
sin
12
11
cos2
6
2
ππ
iz,
12
11
2
π
ϕ
=
;
2=
k
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
12
19
sin
12
19
cos2
6
3
ππ
iz,
12
19
3
π
ϕ
=
.
Изобразим полученные значения на
окружности радиуса
6
2
(рис. 2). Как видно
из рисунка,
210
,, zzz
являются вершинами
правильного треугольника.
Рисунок 1. 
          Методические указания к решению контрольной работы
                                Тема «Комплексные числа»
                                       z
    1. Найти z1 ± z2 , z1 ⋅ z 2 , 1 , если z1 = 12 + 5i , z2 = 3 − 4i .
                                       z2
    Решение.
z1 + z 2 = (12 + 5i ) + (3 − 4i ) = 15 + i ;
z1 − z2 = (12 + 5i ) − (3 − 4i ) = 9 + 9i ;
z1 ⋅ z2 = (12 + 5i ) ⋅ (3 − 4i ) = 56 − 33i ;
z1 12 + 5i (12 + 5i ) ⋅ (3 + 4i ) 16 + 63i 16 63
     =         =                         =       = + i = 0,64 + 2,52 i .
z2 3 − 4i         (3 − 4i ) ⋅ (3 + 4i )       25  25 25
   2. Решить уравнение i ( x − iy ) + 2 y = 3 + i .
   Решение.
   Раскроем скобки: ix + y + 2 y = 3 + i .
                     ⎧y + 2y = 3
  Создадим систему: ⎨            .
                     ⎩ ix = i
                 ⎧y = 1
  Следовательно, ⎨      Получаем: z = 1 + i
                 ⎩x = 1
   3. Найти все значения 3 − 1 + i .
   Решение.
                                                             (
  Запишем в тригонометрической форме: z = −1 + i = 2 cos 3π + i sin 3π .
                                                                            4
                                                                             )4
  Теперь используем формулу Муавра
                      ⎛      3π                  3π        ⎞
                      ⎜           + 2πk              + 2πk ⎟
   3 − 1 + i = 3 2 ⎜ cos 4               + i sin 4         ⎟ , k = 0,1, 2 .
                      ⎜⎜          3                   3    ⎟⎟
                       ⎝                                    ⎠
  Отсюда получаем три значения корня:
                 ⎛      π          π⎞
k = 0 , z 2 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , ϕ1 = π ;
             6

                 ⎝       4         4⎠         4
                 ⎛      11π          11π ⎞           π;
k = 1 , z2 = 6 2 ⎜ cos       + i sin     ⎟ , ϕ 2 = 11
                                                    12
                 ⎝       12           12 ⎠
                  ⎛      19π          19π ⎞            π.
k = 2 , z3 = 6 2 ⎜ cos        + i sin     ⎟ , ϕ 3 = 19
                                                     12
                  ⎝       12           12 ⎠
  Изобразим полученные значения на
окружности радиуса 6 2 (рис. 2). Как видно
из рисунка, z 0 , z1 , z 2 являются вершинами                   Рисунок 1.
правильного треугольника.




                                      20

Страницы